Нежелание Гаусса позитивно оценить работу Лобачевского отчасти вызвано его стремлением продемонстрировать беспристрастность своему другу Фаркашу Бойаи, сын которого, Янош Бойаи (1802–1860) одновременно с Лобачевским работал в области неевклидовой геометрии. Фаркаш был провинциальным преподавателем математики в венгерской глубинке (теперь эта территория принадлежит Румынии), который потратил много сил и времени на то, чтобы доказать пятый постулат. Когда этой задачей занялся его сын, он отчаялся и написал ему в письме: «Ради Бога, я умоляю тебя, брось все это. Бойся этого не меньше, чем чувственных страстей, потому что это также может поглотить все твое время и лишить здоровья, спокойствия духа и счастья в жизни». Неустрашимый или, возможно, даже подталкиваемый неким страхом, Янош продолжал свои исследования и в 1829 году фактически пришел к тем же заключениям, что и Лобачевский. По его собственным словам, Бойаи разработал «абсолютную науку о пространстве» на базе тех же принципов, что и Лобачевский. Его отец издал статью сына как приложение к собственному трактату. Эта работа датируется 1829 годом, то есть тем же годом, что и труд Лобачевского, но она не была издана вплоть до 1832 года. Спрятанная в конце непопулярной книги, она, возможно, была бы полностью потеряна для истории, если бы не тот факт, что Фаркаш был другом Гаусса. Он послал ученому книгу. Даже сухой ответ Гаусса мог бы выразить одобрение, но Гаусс отказался от публичной поддержки этого труда, заявив, что похвалить работу означало бы просто похвалить себя, поскольку он в последнее время придерживался тех же взглядов. Янош был раздавлен ответом, он опасался, что у него отнимут его открытия. В дальнейшем он отказался от каких-либо публикаций.
Нежелание Гаусса признать работы Лобачевского и Бойаи выглядит грубостью. Да, Гаусс, конечно, думал об этих проблемах, но нет никаких свидетельств, что он изучал различные результаты неевклидовой геометрии. Рука помощи, протянутая признанным мастером, могла бы спасти карьеру Бойаи и здоровье Лобачевского. Гаусс подошел к вопросу с другой стороны. Рассматривая линии на плоскости, он вывел теорему о том, что «кривизна поверхности связана с используемым методом измерения» (то есть с математическим выражением, используемым для вычисления расстояния между двумя точками). Гаусс показал, что искривление не зависит от места нахождения поверхности. Кривизна была внутренней особенностью, связанной с суммой углов треугольника, расположенного на такой поверхности. В этом контексте близость к неевклидовой геометрии очевидна.
Когда пал пятый постулат, этот столп евклидовой геометрии, просуществовавший более двух тысяч лет, то рухнула и сама конструкция.
Как ни парадоксально, открытие геометрии, в которой постулат Евклида о параллельности прямых не верен, тем не менее реабилитировало геометрию Евклида, хотя и весьма изощренным способом: раз для разрушения этого столпа потребовались такие усилия, значит, он все-таки необходим! Евклидова геометрия оставалась логически последовательной, но теперь это была просто одна из многих возможных геометрий, и, следовательно, уже никто не был уверен, что это геометрия окружающего нас пространства. Развивающееся понимание внутренних свойств пространства приобрело значение как метод исследования реальной геометрии пространства, поскольку не существовало способа его познания извне! Существовала опасность, что геометрия может стать занятным экспонатом экзотического собрания редкостей, но был один математик, который дал совершенно новое определение геометрии.
Бернхард Риман (1826–1866), сын пастора, был воспитан в скромности, но получил хорошее образование в Берлине и Геттингене, где в 1854 году стал приват-доцентом, а затем и доцентом. Чтобы занять этот пост, Риман должен был по уставу выступить перед профессорским составом с лекцией. Это был самый увлекательный доклад в истории математики. Лекция, носившая название «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», самым подробным образом описывала геометрию как предмет. Это было описание долгого пути от линейки и циркуля Евклида. Риман определил геометрию как исследование множеств — ограниченных или неограниченных пространств любого порядка (возможно бесконечное число порядков), вместе с системой координат и способом измерения кратчайшего расстояния между двумя точками. В евклидовой трехмерной геометрии способ измерения определяется как ds2 = dx2 + dy2 + dz2 — дифференциал, эквивалентный теореме Пифагора. Эти множества — само пространство без внешней системы координат. Искривление пространства было, таким образом, полностью определено в терминах внутренних свойств множеств в любом пространстве. Для Римана геометрия была, по существу, наукой о наборах упорядоченных n-кортежей, объединенных согласно определенным правилам; его идеи о пространствах были настолько общими, что казались практически нереальными. Любые отношения между переменными можно было счесть «пространством». Если для системы не существует метода определения расстояния между двумя точками пространства или двумя элементами множества, тогда применяется ветвь математики, известная как топология. Она описывает, как различные области пространства связаны между собой.