На 1 съответства 2.
На 3 съответства 4.
На 5 съответства 6 и така нататък.
Доказателството е толкова безупречно, колкото и маловажно, ала не се различава от следното: че има толкова множители на три хиляди и осемнадесет, колкото числа има.
На 1 съответства 3018.
На 2 съответства 6036.
На 3 съответства 9054.
Тя 4 съответства 12027 и така нататък.
Същото може да се твърди за неговите степени, колкото и да оредяват те с напредването ни.
На 1 съответства 3018.
На 2 съответства 30182 = 9 109 324.
На 3 съответства… и така нататък.
Едно гениално възприемане на тези факти е вдъхновило формулата, че безкрайното множество — например редът на естествените числа — е такова множество, чиито членове могат да се разгъват на свой ред в безкрайни редове. Частта, в тези висши ширини на броенето, не е по-малко обилна от цялото: точното количество на точките, които има във вселената, е онова, което има в един метър от вселената или в един дециметър, или в най-дълбоката звездна траектория. Задачата на Ахил се вмества в този героичен отговор. Всяко място, заемано от костенурката, запазва съотношение с друго, заемано от Ахил, и съвсем буквалното съответствие, точка по точка, на двете симетрични поредици е достатъчно, за да бъдат огласени за еднакви. Не остава никакъв периодичен остатък от първоначалната преднина, дадена на костенурката: крайната точка в нейния преход, последната в прехода на Ахил и последната във времето на надбягването са завършеци, които математически съвпадат. Такова е Ръселовото решение. Джеймс, без да отхвърля техническото превъзходство на противника, предпочита да е несъгласен. Изявленията на Ръсел (пише) избягват истинската трудност, засягаща растящата категория на безкрайността, а не неизменяемата категория, която е единствената, вземана от него предвид, когато предполага, че надбягването е било осъществено и че проблемът се състои в уравновесяването на преходите. От друга страна, не са потребни два прехода: преходът на всеки от бегачите или просто периодът на празното време включва трудността да се стигне до финал, когато един предварителен промеждутък продължава да се появява обиколка подир обиколка и да препречва пътя (Някои проблеми на философията, 1911, с. 181).
Стигнах до края на моята бележка, не до края на нашето умуване. Парадоксът на Зенон от Елея, както е посочил Джеймс, посяга не само на действителността на пространството, но и на по-неуязвимата и нежна действителност на времето. Прибавям, че съществуването в едно физическо тяло, неподвижното стоене, протичането на един подиробед в живота се сепват пред опасността в него. Това разлагане става посредством единствената дума безкраен, дума (а после схващане) плашеща, която сме родили с боязън и уплаха и която, щом бива допусната в една мисъл, избухва и я убива. (Има други древни назидания против търговията с тъй вероломната дума: китайската легенда за жезъла на царете на Лян, който бивал намаляван наполовина от всеки нов цар; жезълът, осакатяван от династии, още съществувал.) Моето мнение, след тъй изобилните преценки, които представих, поема двойния риск да изглежда неуместно и изтъркано. Ще го формулирам обаче: Зенон е неоспорим само ако признаем идеалността на пространството и на времето. Ако приемем идеализма, ако приемем конкретното нарастване на доловимото, ще избегнем гъмженето от пропасти на парадокса.
Да докоснем ли нашето схващане за вселената с това късче гръцка мъгла? — ще запита моят читател.
Хорхе Луис Борхес
Преображения на костенурката
Има едно схващане, което покварява и обезсмисля другите. Не говоря за Злото, чиято ограничена империя е етиката; говоря за безкрайното. Аз копнях някога да съставя антология на подвижната му история. Многоглавата Хидра (блатно чудовище, което е нещо като предочертание или емблема на геометричните прогресии) би вдъхнала уместен ужас на неговия портик: биха я увенчали мръсните кошмари на Кафка, а централните глави биха познавали догадките на този предалечен германски кардинал — Николай от Куес, Николай Кузански, — който в окръжността видял многоъгълник с безкраен брой ъгли и писал, че една безкрайна линия ще да е права, ще да е триъгълник, кръг и сфера. (За ученото незнание, 1,13). Пет, седем години метафизическо, богословско, математическо чиракуване биха ме подготвили (вероятно) да съставя прилично план на тази книга. Безполезно е да прибавям, че животът ми забранява тая надежда, а дори и това наречие.