}Вопрос 8}
}Основные операции алгебры случайных событий. Аксиомы и теоремы алгебры событий
1.1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.
Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.
Пример 2. Если при броске игральной кости событием Аi назвать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является суммой событий А1+А2+А3.
Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В
1.2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.
Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих стрелков.
Пример 4. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из колоды дамы пик.
1.3.Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.
Пример 5. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахе второго.
Пример 6. В примере 4 А\В – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме дамы. Наоборот, В \А – извлечение дамы любой масти, кроме пик.
Аксиома 1. Каждому событию соответствует неотрицательное число - вероятность этого события P(A).
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1.
Аксиома 3. Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е.
.
Это верно как для конечного числа событий , так и для бесконечного (счетного) множества событий.
Построение теории вероятностей на основе данных аксиом принадлежит А.Н.Колмогорову, который в своих работах положил начало созданию теории вероятностей как строгой математической науки.
Вероятность события A Î T есть, как уже говорилось, число. Поэтому вероятность можно трактовать как функцию, ставящую в соответствие некоторому событию определенное число P(A). Функцию P(A), удовлетворяющую Аксиоме 3, называют аддитивной, или счетно-аддитивной, если множество событий бесконечно (часто пишут также "s-аддитивна"). Счетно-аддитивная функция множества называется мерой. В силу Аксиомы 1 и Аксиомы 3 вероятность P(A) представляет собой неотрицательную s-аддитивную функцию множества, т. е. неотрицательную меру.
Пространство элементарных событий W с заданной на нем алгеброй или s-алгеброй множеств T и определенной на T вероятностью - неотрицательной мерой P(A), , называется вероятностным пространством и обозначается (W, T, P). Можно говорить, что математической моделью любого случайного явления в современной теории вероятностей служит вероятностное пространство.
Теорема сложения вероятностей.
Теорема 2.1 (теорема сложения). Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна
Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).
Доказательство.
Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, тА – число исходов, благоприятных событию А, тВ – число исходов, благопри-ятных событию В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле (1.1):
Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С
Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)
и т.д.
Следствие 2. Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А + В) = р(А) + р(В).
Определение 2.1. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать .