Случайные величины обозначаются Х, Y и т.д.
Примеры .
1) Опыт - бросается игральная кость один раз. Случайная величина Х - число выпавших очков. Множество значений случайной величины Х={1,2,3,4,5,6}.
2) Опыт стрельба по цели до первого попадания. Случайная величина Y - число израсходованных патронов – имеет множество значений {1,2,3,…}=N.
Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений.
Определение Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого промежутка.
Разные случайные величины могут иметь одно и тоже множество возможных значений. Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, кроме множества значений необходимо указать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное своё значение.
Определение. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.
Для дискретной случайной величины Х закон распределения может быть задан виде таблицы.
В верхней строке перечисляются все возможные значения случайной величины Х (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке указываются вероятности соответствующих значений: - это вероятность того, что случайная величина Х принимает значение .
…
(…)
…
(…)
Так как в результате каждого опыта случайная величина Х обязательно принимает только одно из значений: ,,…,,(…), то события ,…,,(…) образуют полную группу попарно несовместных событий. Значит, .
Определение. Дискретная случайная величина Х считается заданной, если указано конечное или счетное множество чисел ,,…,,(…), и каждому из них поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем .
Для наглядности закон распределения можно изобразить графически – на плоскости отмечаются точки с координатами и соединяются отрезками. Полученная ломаная называется многоугольником распределения случайной величины.
}Вопросы 13 Законы распределения случайных величин. Ряд распределения
При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы записываются возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие значениям вероятности:
X
…
p
…
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X.
Так как случайная величина в результате испытания примет одно и только одно значение, то события: Х=, Х=, …, Х= образуют полную группу. Следовательно, из следствия 1 теоремы сложения вероятностей сумма вероятностей этих событий равна единице:
++…+==1.
Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс ОХ будем откладывать значения случайной величины , k=1, 2, …, n, а по оси ординатOY – соответствующие им вероятности . Полученные точки соединяются отрезками прямых. Построенная таким образом фигура называется многоугольником распределения (рис.1).
Рис. 1
Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.
Биномиальное распределение
Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли:
(1)
Формула (1) является аналитическим выражением биномиального закона распределения.
По биномиальному закону распределена случайная величина Х числа появлений события А при проведении nнезависимых испытаний, если вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна p (q=1–p). В nиспытаниях событие А может вообще не появиться, появиться 1 раз, 2 раза, 3 раза, …, n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: =0, =1, =2, =3, …, =n. А соответствующие им вероятности подсчитываются по формуле Бернулли (1). Ряд распределения в этом случае будет таким:
X
0
1
2
…
k
…
p
…
…
Cумма вероятностей, соответствующих возможным значениям случайной величины, записывается в виде бинома Ньютона:
+++…++…+==(2)
Естественно, что в формуле (2) p+q=1 и поэтому =1.
Геометрическое распределение
Геометрическим называется распределение вероятностей случайной величины Х, которое определяется следующим законом:
, k³1.
Здесь p – вероятность наступления события А, q - вероятность того, что событие А не произойдет: q=1–p. Случайная величина Х определяется как число независимых испытаний, которые нужно произвести до первого появления события А.
Очевидно, что возможными значениями Х является множество натуральных чисел. То, что случайная величина принимает значение =k, означает, что в первых k-1 испытаниях А не наступило, а в k-м появилось. Вероятность этого подсчитывается по теореме умножения вероятностей для независимых событий: =. Сумма вероятностей всех значений определяется по формуле суммы членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом p:
++…++…====1.
}Вопрос 14. Законы распределения непрерывных случайных величин. Функция распределения. Свойства функции распределения.
Пусть X – непрерывная случайная величина, значения которой сплошь заполняют интервал (а, b).
Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), определяющая вероятность того, что X примет значение, меньшее x:
F(x) = P(X < x).
Фундаментальные свойства функции распределения:
1) Область значений функции распределения лежит на отрезке [0, 1]:
0 ≤ F(x) ≤ 1.
2) Функция распределения является неубывающей, т. е.
F(x2) > F(x1) при х2 > х1.
3) Если возможные значения непрерывной случайной величины X расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие пределы: