Sed non solum dependet cognitio logicae a mathematica propter suum finem, sed propter medium et cor eius, quod est liber Posteriorum, nam ille liber docet artem demonstrandi. Sed nec principia demonstrationis, nec conclusiones, nec ipsa tota potest cognosci, nec manifestari nisi in mathematicis rebus, quia ibi solum est demonstratio vera et potens, ut omnes sciunt et exponetur post. Quapropter necesse est logicam a mathematicis dependere.
Но знание логики зависит от математики не только в отношении своей цели, но и в отношении своей сути и сердцевины, каковыми является книга Второй аналитики, ибо эта книга учит искусству доказательства. Но ни начала доказательства, ни заключения, ни само доказательство в целом не может быть ни познано, ни разъяснено иначе как с помощью математики, поскольку, как известно всем, только здесь имеется истинное и действенное доказательство (это будет показано позже). А потому логика необходимо зависит от математики.
Item propter suum principium, non solum propter medium et finem. Nam liber Praedicamentorum est primus liber logicae secundum Aristotelem. Sed constat praedicamentum quantitatis cognosci non posse sine mathematica. Nam sola mathematica constituitur de quantitate cognoscenda. Quantitati vero annexa sunt praedicamenta de quando et ubi. Nam quando attinet tempori, et ubi oritur ex loco. Praedicamentum habitus non potest cognosci sine praedicamento ubi, ut docet Averroes in quinto Metaphysicae. Maior vero pars praedicamenti qualitatis continet passiones et proprietates quantitatum, quia omnia quae sunt in quarto genere qualitatis vocantur qualitates in quantitatibus. Et omnes passiones earum quae absolute debentur eis sunt qualitates, de quibus magna pars geometriae et arithmeticae constituuntur, sicut sunt rectum et curvum, et caetera quae lineae debentur, et triangulatio et omnis reliqua figuratio, quae superficiei et corpori assignantur; et primum incompositum in numeris, ut docet Aristoteles quinto Metaphysicae et caeterae passiones numerorum absolutae. Quicquid autem dignum est consideratione in praedicamento relationis est proprietas quantitatis, ut sunt proportiones et proportionalitates, et medietates geometricae, et arithmeticae, et musicae, et species maioris inaequalitatis et minoris. Substantiae vero spirituales non cognoscuntur per philosophiam nisi per corporales, et maxime supercoelestes, secundum quod Aristoteles docet undecimo Metaphysicae. Nec inferiora cognoscuntur nisi per superiora, quia coelestia sunt causae inferiorum. Sed coelestia non cognoscuntur nisi per quantitatem, sicut patet ex astronomia. Et ideo omnia praedicamenta dependent ex cognitione quantitatis, de qua est mathematics, et ideo virtus tota logicae dependet ex mathematica.
Логика зависит от математики не только в отношении сути и цели, но и в отношении своего начала. Ибо книга Категории есть, согласно Аристотелю, первая книга логики. Но ясно, что категория «количество» не может быть постигнута без знания математики, ибо для познания количества установлена только одна [наука] — математика. А «количество» связано с категориями «где» и «когда». Ибо «когда» неразрывно связано со временем, [являющимся количеством], а «где» [также] берет начало от [количества] — места. Категория «habitus» не может быть познана без категории «где», как учит Аверроэс в V книге Метафизики. И большая часть категории «качество» включает свойства и характеристики количеств, поскольку все, что относится к четвертому роду качества [116], называется качествами в количествах. И все их свойства, которые, безусловно, им принадлежат, суть качества, о коих повествует большая часть геометрии и арифметики, например, прямое, кривое и прочее, что принадлежит линии, и треугольность и прочие формы, которые приписываются поверхности и телу, и первое несоставное в числах, как учит Аристотель в V книге Метафизики, и прочие абсолютные свойства чисел. И все, что достойно исследования в категории «отношение», есть свойства количества, например, пропорции и пропорциональности, среднее геометрическое, арифметическое и гармоническое, и виды большего и меньшего неравенства. И духовные субстанции, особенно наднебесные, познаются философией только через телесные, как учит Аристотель в XI книге Метафизики. И вещи этого мира познаются только благодаря вещам небесным, поскольку последние суть причины первых. Но небесные вещи познаются только благодаря количеству, что очевидно из астрономии. И поэтому все категории зависят от знания количества, о котором [повествует] математика, а потому вся сила логики зависит от математики.
Capitulum III. In quo probatur per rationem quod omnis scientia requirit mathematicam.
Глава III. В которой на основании умозаключений доказывается, что всякая наука требует [знания] математики.
Quod vero per auctoritatem de tota mathematica ostensum est, potest nunc per rationem similiter ostendi. Et primo, quia aliae scientiae utuntur exemplis mathematicis, sed exempla ponuntur propter evidentiam rerum de quibus scientiae constituuntur: quare ignoratis exemplis, ignorantur ea propter quorum intelligentiam adducuntur. […]
То, что показано обо всей математике путем ссылки на авторитет, ныне можно равным образом доказать с помощью умозаключений. И, во-первых, [всякая наука требует знания математики] потому, что все иные науки пользуются примерами из математики, но эти примеры приводятся для разъяснения вещей, ради [познания] которых установлены эти науки. Поэтому, если неизвестны примеры, неизвестно и то, для постижения чего они приводятся. […]
116
Как пишет Аристотель, «четвертый вид качества — это очертания и имеющийся у каждой [вещи] внешний облик и, кроме того, прямизна, кривизна и т. п. В самом деле, ведь по ним в каждом случае называют что-то таким-то и таким-то, ибо вещь называют такой-то и такой-то благодаря тому, что она треугольная, или благодаря тому, что она прямая или кривая, и равным образом по внешнему облику что-то называют таким-то и таким-то» (Aristot.,