Пересмотр этих понятий начинается в эпоху Возрождения и первоначально происходит в теологии и философии, а затем, позднее, проникает в математику и физику. Так, Николай Кузанский в качестве важнейшего логического закона, каким прежде был закон тождества (непротиворечия), объявляет закон совпадения противоположностей. Исходя из того, что Единое (Бог) не имеет противоположности, Николай делает вывод, что Единое тождественно бесконечному, абсолютный минимум – абсолютному максимуму. В своих рассуждениях он исходит из того, что бесконечное, т.е. то, больше чего не может быть, – это максимум, единое же – это минимум; но максимум и минимум – это одно и то же в Боге. Чтобы сделать более наглядным принцип совпадения противоположностей – максимума и минимума, – Кузанец обращается к математике, указывая, что при увеличении радиуса круга любой отрезок окружности все более “выпрямляется”; если же увеличить радиус до бесконечности, то окружность превратится в прямую линию – тоже бесконечную. У такого “максимального” круга диаметр становится тождественным окружности, более того, с окружностью, как это ни парадоксально, совпадает и центр круга, а тем самым оказываются совпавшими точка (минимум) и бесконечная прямая (максимум). То же происходит и с другими фигурами, например, с треугольником: если увеличивать одну его сторону до тех пор, пока она не станет актуально бесконечной, то и другие две тоже станут бесконечными, – и все три стороны треугольника сольются в одну бесконечную прямую.
Строго говоря, никаким “увеличением”, сколь бы долго оно ни продолжалось, сторону треугольника невозможно превратить в актуально бесконечную: она всегда будет оставаться как угодно большим, но конечным отрезком прямой. Между потенциальной бесконечностью возрастания величины и актуальной бесконечностью всегда остается “зияние”, непереходимая пропасть, и Кузанец совершает здесь “скачок”, никакой логикой не объяснимой. Но с помощью этого “скачка”, совершаемого в действительности с помощью теологических, а не математических понятий, в рассуждения о математических предметах вводится понятие актуальной бесконечности. Более того: бесконечное объявляется теперь “мерой” всего конечного, и вместе с принципом “совпадения противоположностей” отменяются основания античной математики, физики и космологии. Однако сам Кузанец – прежде всего теолог; он не был ни выдающимся математиком, ни физиком, ни астрономом. Поэтому его математические рассуждения – лишь иллюстрации к его философско-теологическим идеям.
Однако эти идеи, воспринятые – вероятнее всего, через Джордано Бруно – Галилеем, получили новую жизнь именно в математике и естествознании. Вопреки широко распространенному мнению о том, что Галилей был по преимуществу выдающимся экспериментатором и в гораздо меньшей степени теоретиком, чтение его сочинений свидетельствует о противоположном: Галилей неустанно искал способы логико-теоретического обоснования вводимых им методов изучения природы. И если в своих математических построениях Галилей был учеником античных математиков, прежде всего Архимеда, то в своих философско-методологических гипотезах он оказывается последователем Николая Кузанского, на что до сих пор обращали мало внимания. Подготовляя фундамент механики нового времени, Галилей опирается на принцип совпадения противоположностей и использует его при решении проблемы континуума. И в той мере, как он применяет метод Кузанца, Галилей отходит от античной математики, в рамках которой решение проблемы континуума предполагало исключение актуальной бесконечности.
Вопрос о природе континуума Галилей обсуждает при рассмотрении причины связности тел. Такой причиной он считает существование “мельчайших пустот” в телах, видя именно в пустотах источник силы сцепления. Чтобы объяснить большую сопротивляемость некоторых тел разрыву, Галилей допускает бесконечное множество ничтожно малых пустот в конечном теле. Эти пустоты должны быть бесконечно малыми, чтобы “вместиться” в теле конечного размера. Попутно отметим, что само по себе признание наличия в телах пустот еще не свидетельствует о близости Галилея к античным атомистам. Как известно, у последних пустоты, “поры” в телах выступали, напротив, как причина их разрушимости, а не как сила сцепления, как у Галилея.
К понятию бесконечно большого числа бесконечно малых, из которых “состоит” конечная величина, Галилей прибегает и в математике. Именно с помощью такого допущения он решает знаменитую задачу “Колеса Аристотеля”, сформулированную в “Механических проблемах” Псевдо-Аристотеля. В средневековой механике эта задача формулировалась так: почему при совместном качении двух концентрических кругов больший проходит такое же расстояние, как и меньший, тогда как при независимом качении этих двух кругов пройденные ими расстояния относились бы как их радиусы? Галилей разрешает проблему “аристотелева колеса” совсем не так, как автор “Механических проблем”. Последний объяснял различие скоростей точек, находящихся на разном расстоянии от центра круга, ссылаясь на то, что круговое движение точек складывается из двух движений – “естественного” (тангенциального) и “насильственного” (центростремительного), отклоняющего точку с прямого пути. В малом круге центростремительное движение больше, чем в большом.
Галилей подходит к задаче по-другому. Он начинает с допущения, которое позволяет ему сделать “предельный переход”, на котором строится все доказательство: рассматривает сначала качение равносторонних и равноугольных концентрических многоугольников. При качении большего многоугольника должен двигаться также и вписанный в него меньший. Как доказывает Галилей, меньший многоугольник пройдет пространство, почти равное пройденному большим, “если включить в пространство, пройденное меньшим, также и интервалы под дугами, не затронутые на самом деле никакой частью периметра меньшего многоугольника” (Галилей. Избр. труды. Т. 2. М., 1964. С. 133). При качении меньшего многоугольника происходят “скачки”, как бы пустые промежутки, число которых будет равно числу сторон многоугольников. При возрастании числа сторон многоугольников размеры пустых промежутков уменьшаются пропорционально увеличению числа сторон. Однако пока многоугольник остается самим собой, то, как бы ни возрастало число его сторон, они остаются все же конечными величинами, а потому и число пустых промежутков будет как угодно большим, но конечным числом. И только если мы рассмотрим случай предельного перехода, когда многоугольник превращается в круг, то дело меняется. Круг, говорит Галилей, содержит актуально бесконечное число бесконечно малых “сторон” многоугольника. Весь парадокс теперь сосредоточивается в понятии “пустых точек”, которые представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих “пустых точек” служит для Галилея средством преодоления противоположности непрерывного и дискретного, на которой базировался принцип непрерывности в античной науке. Насколько эта противоположность была принципиальной также и для средневековой науки, свидетельствует, в частности, трактат математика Брадвардина (XIV в.) о континууме, где показано, к каким противоречиям приводит попытка составления континуума из неделимых (т.е. из точек).