Галилей показывает, какие новые возможности открываются перед наукой, если принять понятие актуальной бесконечности. “...Разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но, представляя себе линию, разделенную на неконечные части, т.е. на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот” (Там же. С. 135). Так Галилей вводит понятие неделимого, или бесконечно малого, на основании которого его ученик Кавальери создал геометрию неделимых, – первую форму инфинитезимального исчисления, легшего в фундамент классической механики. Это понятие с самого начала вызывало споры среди математиков и философов, которые длились на протяжении XVII и XVIII веков.
Понятие бесконечно малого несет у Галилея печать своего происхождения и потому называется им то “пустыми точками”, то “неделимыми пустотами”, “неконечными частями линии” и, наконец, просто “неделимыми” или “атомами”. Сам Галилей неоднократно указывает на непостижимость этого понятия для человеческого ума, поскольку оно парадоксально по своей природе: оно предполагает отождествление точки и линии, что в сущности разрушает предпосылки греческой математики.
Утверждая, что континуум составляется из бесконечного числа бесконечно малых (неделимых), природа которых совершенно непостижима, поскольку они не являются ни конечной величиной, ни нулем, Галилей в сущности возвращается к парадоксам Зенона. Но если у Зенона парадоксы призваны были играть разрушительную роль (с их помощью греческий философ пытался доказать, что ни множество, ни движение невозможно мыслить, не впадая при этом в противоречие, и что, стало быть, ни то, ни другое реально не существует), то у Галилея дело обстоит иначе. С одной стороны, он с помощью парадокса разрушает античную теорию континуума, отвергая ее вместе с аристотелевской физикой. Но, с другой стороны, он хотел бы с помощью нововведения – актуальной бесконечности – выполнить вполне конструктивную задачу – обосновать возможность новой математики, которая, в отличие от математики античной, была бы математикой движущихся объектов. И действительно, первоначальная форма дифференциального исчисления базировалась на понятии бесконечно-малой, введенной Галилеем. Однако это понятие-парадокс постоянно вызывало неудовлетворение математиков и побуждало их искать путь иного обоснования дифференциального исчисления. Об этом свидетельствуют работы Лейбница, Ньютона, Карно и многих математиков XVII—XVIII вв. Удивительнее всего, что парадоксальность, связанная с понятием актуальной бесконечности, не вполне удовлетворяла и самого Галилея, о чем свидетельствует его критика собственного ученика Кавальери, который, опираясь на предложенный Галилеем метод неделимых, написал работу “Геометрия, изложенная новым способом с помощью неделимых непрерывного” (1635). Из переписки Кавальери известно, что Галилей не признавал правомерность понятий “все плоскости данного тела” и “все линии данной плоскости”, поскольку они предполагают допущение актуальной бесконечности.
Возвращение к потенциальной бесконечности при обосновании дифференциального исчисления намечается в математике второй половины XVIII в., хотя полностью преодолеть трудности, связанные с понятием бесконечно малого и с пониманием континуума как составленного из актуально бесконечного числа неделимых, и создать теорию пределов, опирающуюся на методологические принципы, близкие к античному методу исчерпывания, удалось только позднее, усилиями К.Ф.Гаусса, Б.Больцано, О.Коши и особенно К.Вейерштрасса.
Как видим, на формирование новоевропейской науки – математики и механики – оказали влияние те изменения, которые произошли в характере мышления и мировосприятия в эпоху Возрождения, когда такой выдающийся мыслитель, как Николай Кузанский, своим учением о совпадении противоположностей в сущности снял тот непереходимый водораздел, который существовал в средние века между Творцом и творением. Тем самым понятия, которые прежде применялись лишь по отношению к Богу, становятся употребительными и по отношению к тварному миру. Это прежде всего относится к понятию актуально бесконечного, оперирование с которым предполагало существенную переоценку также и познавательных возможностей человеческого разума. Не случайно именно в эпоху Возрождения человек нередко приравнивается к Богу и получает даже характеристику “второго Бога”. Именно эти сдвиги, происшедшие в европейской культуре на заре нового времени, в значительной мере обусловили становление новой науки.