Сущность фальшиваго правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмемъ одно уравненіе первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ: ax+b = 0. Примемъ x равнымъ произвольному количеству k1; подставивъ k1 вмѣсто х, пусть мы получимъ во второй части вмѣсто нуля т1, такъ что ak1 + b = n1 т.-е. ошибка оказалась во второй части на n1. Дадимъ иксу другое произвольное значеніе k2, и пусть вторая часть обратится въ n2, такъ-что ошибка второй части уравненія будетъ n2. Теперь мы получимъ такую систему:
то образуется слѣдующее выраженіе для неизвѣстнаго:
Изъ этой формулы выходитъ: n1x- n2x= n1k2- n2k1, или n1(x-k2)=n2(x-k1) откуда получается пропорція: n1: n2=(х-k1) : (х-k2), т. е. ошибки неизвѣстныхъ пропорціональны ошибкамъ уравненій. Этой пропорціей и устанавливается связь между фальшивымъ правиломъ и способомъ пропорцій.
Фальшивое правило вводилось во всѣ учебники ариѳметики до начала 19-го вѣка и считалось необходимой ихъ частью и однимі изъ самыхъ важныхъ отдѣловъ. Оно встрѣчается, между прочимъ, въ ариѳметикѣ Безу, переведенной на русскій языкъ В. Загорскимъ въ 1806 году. Въ настоящее время это правило совершенно исключено изъ ариѳметическаго курса, и его нигдѣ найти нельзя. Двѣ причинь содѣйствовали его исключенію. Во-первыхъ, выводъ его можетъ быті сдѣланъ только алгебраически и, слѣдовательно, въ ариѳметикѣ онъ не можетъ быть объясненъ ученикамъ и требуетъ отъ нихъ прямого заучиванія; во вторыхъ, никакой учебникъ не разграничивалъ, какія задачи можно рѣшать фальшивымъ правиломъ, и какихъ нельзя имі рѣшать; а, между тѣмъ, это существенно важно, потому что, еслі примѣнить правило къ тому, къ чему оно непримѣнимо, то выйдетъ конечно, одно печальное недоразумѣніе. На самомъ дѣлѣ это правило можетъ имѣть силу только для тѣхъ задачъ, гдѣ вся задача сводится къ умноженіямъ и дѣленіямъ неизвѣстнаго.
Прочія правила: смѣшенiя, дѣвичье и другiя.
Правило смѣшенія было въ употребленіи, очевидно, очень давно, такъ какъ потребности въ смѣшеніи лѣкарствъ и какихъ - нибудь составовъ, а также въ сплавленіи металловъ имѣли мѣсто еще въ древнемъ мірѣ. Формулы смѣшенія были найдены, вѣроятно, отчасти путемъ опыта, отчасти алгебраическими выкладками; потомъ онѣ были перенесены въ ариѳметику, запоминались учениками и примѣнялись къ рѣшенію задачъ.
Леонардо Фибонначи въ ХIII в. даетъ такіе пріемы, которые надо признать совершенно механическими; и вся забота ѳго направлена только къ тому, чтобы расположить данныя числа какъ слѣдуетъ; задачи у него раздѣляются на 2 вида, тѣхъ самыхъ, какіе сейчасъ и у насъ: въ первомъ видѣ узнается, какого достоинства выйдегъ смѣсь, если извѣстно количество смѣшиваемыхъ веществъ и ихъ достоинство; въ второмъ видѣ надо опредѣлить, сколько слѣдуетъ взять каждаго вещества, чтобы получить смѣсь такого достоинства, какое требуетса. У Леонардо встрѣчаются задачи на смѣшеніе нѣсколькихъ сортовъ, и есть примѣры болѣе отвлеченнаго характера, въ такомъ родѣ: «Стоимость 30, количество 30, стоимость единицы— 3, 2, ½ рѣшеніе: I:III =1 : 4, II : III = 1 : 2, положимъ на I съ III всего 15 единицъ, изъ нихъ 3 на I, 12 на III; на II съ III кладемъ тоже 15 единицъ, изъ которыхъ 5 на II, и 10 на III; всего тогда получится на I=3, на II=5 и на III =22». Эта задача, какъ видно, неопредѣленная.
Въ 15—16 вѣкѣ задачи на смѣшеніе рѣшались нѣсколько иначе, чѣмъ мы ихъ рѣшаемъ; онѣ приводились къ тройному правилу, и для каждаго неизвѣстнаго составлялась отдѣльная строка, отдѣльная пропорція.
Въ русскихъ учебникахъ XVII вѣка правилу смѣшенія соотвѣтствовала «статья о нечисти во всякихъ овощахъ и въ товарехъ», въ ней говорилось о смѣшеніи чистаго товара съ нечистымъ и о сплавѣ золота, серебра и мѣди. У Магницкаго статья «третья надесять» въ тройномъ правилѣ, подъ заглавіемъ «о соединеніи вещей», начинается прямо съ задачи, безъ всякаго предисловія и объясненія: «Нѣкій винопродавецъ имяше четыре разныя вины, ихъ же продаяше разною цѣною, по 10 алтынъ, по 8 алтынъ, по 6 алтынъ и по 5 алтынъ по 2 денги галенокъ, и хощетъ отъ тѣхъ разноцѣнныхъ винъ бочку наліяти въ 80 галенковъ, чтобы галенокъ былъ цѣною въ 6 алтынъ 4 денги, и вѣдательно есть, колико галенковъ котораго вина вліяти достоитъ во ону бочку, придетъ 16, 8, 16, 40. Зри како изобрѣтати: