Скажем, если первый шар стал чёрным, то второй станет белым не с достоверностью, а с некоторой конечной, отличной от единицы вероятностью. Установим вероятность того, что второй шар станет белым, когда первый шар стал чёрным, равной cos2(φ), где φ – некоторый произвольный заранее заданный параметр. Из этого условия следует, например, что если φ = π/4, то cos2(φ) = 1/2. Это значит, что если первый шар получил цвет чёрный, то второй шар равновероятно может получить цвет как белый, так и чёрный. Соответственно, если первый шар получил цвет белый, то второй шар равновероятно получит цвет либо чёрный, либо белый. Фактически это означает, что оба события – получение каждым из шаров определённого цвета – являются как бы независимыми. Ведь первый шар получает цвет равновероятно чёрный или белый. Независимо от этого второй шар тоже как бы равновероятно получает цвет либо белый, либо чёрный. Мы не можем даже с минимальной определённостью предсказать цвет каждого из шаров. Известно только, что при выемке первого шара второй сразу же приобрел какой-то цвет.
Так вот, сделанное нами допущение в точности совпадает с формализмом квантовой механики. Выбранное соотношение в ней имеет название «закона Малуса»:
Уравнение показывает, что вероятность Р(w,b) получения вторым шаром белого (w) или чёрного (b) цвета равна произведению двух независимых событий: с вероятностью 1/2 (получение первым шаром чёрного цвета) и с вероятностью cos2(φ) того, что второй шар получит противоположный цвет. Рассмотрим крайние значения этого уравнения φ =0 и φ =π/2.
Из уравнения следует, что вероятность получения вторым шаром противоположного цвета равна 1. То есть во всех измерениях (испытаниях) всегда второй шар будет иметь противоположный цвет. Если же мы зададим значение параметра φ =π/2, то вероятность будет:
Это означает, что вероятность получения вторым шаром противоположного цвета равна нулю. То есть во всех измерениях (испытаниях) второй шар всегда будет иметь цвет, совпадающий с цветом первого шара. При этом в обоих случаях вероятность получения первым шаром одного из цветов всегда равна 1/2, то есть равновероятно шар будет либо белым, либо чёрным.
Это уравнение мы задали произвольно, априори, не накладывая на процесс никаких других условий. Посмотрим, что следует из этого уравнения. Мы умышленно представили его как произведение двух величин:
Если обратиться к формализму классической теории вероятностей, то можно заметить, что это уравнение фактически имеет вид теоремы умножения вероятностей, которая гласит, что «вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило». И это описание полностью отвечает условиям нашего эксперимента с шарами. Действительно, первый сомножитель – это вероятность обнаружения первого шара с некоторым определённым цветом. Он либо белый, либо чёрный с вероятностью 1/2. На второе измерение мы наложили условие: второй шар будет иметь противоположный цвет к первому с вероятностью cos2(φ). Следовательно, это уравнение в нашем случае однозначно может трактоваться как теорема умножения вероятностей классической теории вероятностей.