Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами — это особый вид соотношений между элементами первого и второго множеств. Например, если первое множество состоит из рубашек, а второе — из брюк, мы можем установить между ними следующее соответствие: каждой рубашке первого множества соответствует пара брюк такого же размера из второго. Тогда мы скажем, что брюки — отображение определенной рубашки. Может случиться, что у одной рубашки будет размер XXL, а среди брюк не будет ни одной пары этого размера; тогда мы скажем, что у этой рубашки нет отображения. Или может быть, что одной рубашке соответствуют несколько пар брюк того же размера. В этом случае мы скажем, что у рубашки несколько отображений. Когда каждому элементу соответствует только одно отображение, мы говорим о взаимно однозначном отображении, или о биективной функции. Например, биективной будет функция, переводящая каждое число множества целых чисел в то же число, умноженное на два. Назовем эту функцию ƒ. Мы получим, что ƒ(2) = 4; ƒ(5) = 10; ƒ(14) = 28... Если вместо того чтобы записывать через функцию значения, которые принимает каждый элемент, мы запишем их в скобках, то получим тот же результат:
(2, 4) (5, 10) (14, 28).
Разница состоит только в том, что теперь функция определена через множество, элементы которого представляют собой пары. Итак, функция может быть представлена как множество парных элементов, а множество может быть выражено с помощью функции принадлежности. Идея о том, что множество основано на понятии принадлежности, относится к аксиоматике Цермело — Френкеля. Фон Нейман же (ему было всего 22 года, когда он разработал свою аксиоматику теории множеств) взял в качестве ключевого понятия функцию. Это формальное отличие имеет важное следствие: количество аксиом Цермело — Френкеля не определено изначально, теоретически оно может быть бесконечным, в то время как, следуя подходу фон Неймана, требуется всего 18 аксиом, к тому же первую можно включить во вторую как частный случай.
Еще одним достоинством метода фон Неймана было то, что модель множества основывалась не на принадлежности, а на классах функций, которые делились на множества и собственно классы. Последние настолько велики, что не могут содержаться в других классах. Множества же удовлетворяют ограничивающим условиям и могут входить в другие классы. Таким образом, внутри забора оставались только овцы, а все волки оказывались снаружи, поскольку то, что приводило к противоречиям, было рассмотрением не классов самих по себе, а возможности их вхождения самих в себя. Аксиоматика Цермело — Френкеля, дополненная фон Нейманом, используется и сегодня.
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
С самого зарождения физика была экспериментальной наукой.
Физическая теория часто рождается в результате опыта и подтверждается другим опытом. В промежутке строятся рабочие гипотезы, даются определения терминам и выводятся формулы — в этом случае физика активно сотрудничает с математикой. Создание формул крайне важно, так как в числе прочего в них заложен большой потенциал предвидения и обобщения, что является следствием абстрактного характера математики.
Если у нас есть сосуд с жидкостью, характеристики которой нам известны, и у сосуда есть слив, то мы можем измерить время, за которое вся жидкость вытечет. Имея в распоряжении подходящую физическую теорию, построенную на законах вытекания жидкости из сосуда (что обязательно подразумевает и существование определенных математических формул), мы сможем предположить, сколько времени будет затрачено для этого в сосудах разной формы с разными жидкостями разного объема.
Гораздо легче лететь на самолете или даже управлять им, чем понять, почему он движется.
Джон фон Нейман
Тесная связь математики и физики существовала не всегда. Как правило, эти науки шли разными путями, хотя в итоге всегда стремились друг к другу. Рано или поздно физика должна была прибегнуть к помощи математики, чтобы оформиться как точная наука. Появление в начале XX века новых теорий, таких как теория относительности и квантовая механика, требовало развития и новой математики, приспособленной к новым парадигмам. Так теоретическая или, как ее еще называют, математическая физика стала выходить на первый план, и благоприятные условия для этого создал Давид Гильберт в Гёттингенском университете.
ДВЕ ВОЛНОВЫЕ ТЕОРИИ
В какой-то момент ньютонова физика уже не могла объяснить накопившиеся экспериментальные данные. Главные сложности возникли с двумя явлениями. Первым было излучение черного тела, которому никак не удавалось найти удовлетворительного объяснения. Второе касалось электрона, вращавшегося по орбите вокруг ядра: теоретически он должен был постепенно терять энергию и упасть на ядро, но этого не происходило. Помимо этого, по результатам некоторых экспериментов природа частиц оказывалась двойственной — они вели себя как волны и корпускулы одновременно. То же самое получалось и в некоторых экспериментах с фотонами. Например, при фотоэффекте они вели себя как частицы, а в эксперименте с двойной щелью проявляли волновую природу. Тогда появились две теории, объясняющие эти явления. Первая принадлежит Вернеру Гейзенбергу (1901-1976), вторая — Эрвину Шрё- дингеру (1887-1961). Механика Гейзенберга была матричной, механика Шрёдингера — волновой, и, разумеется, для них требовались разные математические инструменты. По схеме Шрёдингера волновое уравнение, описывающее частицу, было дифференциальным, а его решение для электрона атома водорода совпадало с результатом, полученным опытным путем.
Все эти исследования проходили в Гёттингенском университете в 1925-1926 годах. Необходимо было как можно скорее найти математический инструмент, пригодный для использования в рамках обеих теорий. Как это часто происходило в истории науки, именно математический, сугубо абстрактный подход, не имевший ничего общего с конкретной физической реальностью, стал прекрасной основой для двух разных теорий. Их объединила теория функциональных полей Давида Гильберта. Однако это объединение в более широком смысле могло произойти только при наличии абстрактной системы аксиом, способной совместить оба подхода.
АКСИОМАТИЗАЦИЯ ФИЗИКИ
Можно ли аксиоматизировать физику? Этот вопрос стоит на шестом месте в знаменитом списке 23 задач Гильберта, представленном на Международном математическом конгрессе в Париже. В оригинальном тексте доклада ученый писал:
«...[изучение основ] физических наук, в том числе математики, имеет важное значение; в первую очередь речь идет о теории вероятностей и механике».
Аксиоматику теории вероятностей впервые установил советский математик Андрей Николаевич Колмогоров в 1933 году.
В области физики многие ученые, среди которых был и фон Нейман, достигли больших успехов, но они сомневались в возможности найти окончательное решение: результаты опытов были невероятно сложными и могли разрушить устойчивость системы аксиом. Таким образом, этот вопрос из списка 23 задач до сих пор остается открытым.
АКСИОМАТИКА ФОН НЕЙМАНА
Фон Нейман аксиоматизировал квантовую механику таким образом, что параметры, определяющие положение частицы, могли быть установлены при помощи пяти аксиом, сформулированных для гильбертова пространства. Математические формулировки были достаточно абстрактны, чтобы оставаться полностью отделенными от экспериментальной физики. Эти результаты были изложены в различных статьях в журнале Mathematische Annalen («Математические анналы») в 1929— 1930 годах.
Фон Нейман занимался еще одной проблемой, которая не давала покоя физикам и решение которой стало бы большим прогрессом в теории меры. В большинстве физических опытов всегда проводится некое измерение, и — каким бы точным ни был используемый инструмент — ошибка неизбежна. Поэтому важно знать, насколько велика эта ошибка, хотя бы приблизительно. В классической физике теория ошибок была достаточно развита и позволяла установить, насколько результаты эксперимента заслуживают доверия.