Обработка каждого участка требует определенных трудовых затрат, которые, как и производительность, различны для разных участков. Конечно, эти затраты измеряются не в деньгах, поскольку мы описываем общество без денег; но можно себе представить, что они складываются из затрат на приобретение орудий труда и на труд выращивания пшеницы. Поскольку денег еще нет, все эти затраты выражаются обычно в количестве выращиваемого продукта, качество которого мы будем считать одинаковым: в Японии до конца девятнадцатого века все налоги и повинности крестьян выплачивались рисом. Можно предположить, что вследствие однородности сельскохозяйственной работы и равноценности рабочей силы труд выращивания пшеницы измеряется числом килограммов пшеницы, за которое соплеменник согласился бы выполнить этот труд. Пусть полные трудовые затраты на i-ом участке составляют Si килограммов.
Подчеркнем еще раз, что качество зерна и рабочей силы здесь не учитываются; дальше мы займемся этим очень важным вопросом, не принятым во внимание в "теориях стоимости" Д. Рикардо и К. Маркса.
Изобразим теперь все n участков и их свойства на следующей двумерной диаграмме.
Введем на плоскости координаты S, Р (рис.1) и сопоставим участку с производительностью Рi и трудовыми затратами Si точку с координатами (Si,Рi). Все такие точки i = 1,2,...,n заполняют на рисунке 1 некоторое "облако" точек, окруженное замкнутой кривой, и требуется выделить часть этого облака, дающую заданную общую продукцию зерна при наименьших общих трудовых затратах.
Предположим, что набор участков, решающий эту задачу, занумерован первыми m числами 1,2,...,m (m < n). Тогда, по условию, должны удовлетворяться все потребности в зерне, то есть должно быть
Р1 + Р1 + ... + Рm = Р,
и при этом условии сумма трудовых затрат
S1 + S2 + ... + Sm = S
должна быть минимальной.
Рис.1
Трудовые затраты на килограмм зерна составляют для i-го участка Si/Pi, что геометрически означает наклон к оси P прямой Oi. Ясно, что прежде всего желательно использовать те участки i, для которых этот наклон возможно меньше. Сначала выберем участок с наименьшим наклоном, затем – со следующим по величине, и т.д. Прямую R, отсекающую отобранные участки, построим следующим образом. Можно себе представить, что вначале прямая R совпадает с осью ОР; вращая ее вокруг точки О, как часовую стрелку, мы остановим ее в таком положении, когда полная производительность участков выше нее и на ней самой достигнет требуемой величины Р. Закрепим прямую R в таком положении и будем называть точки i, указанные выше – то есть расположенные выше прямой R и на этой прямой – "областью А", а все остальные точки, расположенные ниже прямой R, – "областью В".
Как мы покажем, имеет смысл засевать лишь участки области А, которые оказываются наиболее выгодными для производства пшеницы. В самом деле, предположим, что один из участков области А, с номером i, не обработан, и покажем, что в этом случае можно предложить более выгодный способ использования имеющихся земельных ресурсов. Поскольку задана общая производительность Р, какую надо получить со всех обрабатываемых участков, а область А построена так, что все ее участки вместе дают именно эту продукцию, то выпадение участка i означает, что обработаны некоторые из участков остальной области В. Предположим, что участки j1, j2, ..., jk области В обработаны и дают в сумме как раз недостающую производительность Рi участка i. Покажем, что в таком случае выгоднее прекратить их обработку и вместо них обработать один участок i.
Пусть j означает любой из упомянутых участков области В. Тогда наклон прямой Оj по отношению к оси S меньше наклона прямой Оi (см. рис.1), поскольку первая из них ниже прямой R, а вторая – выше. Наклон измеряется отношением ординаты точки прямой к ее абсциссе, одним и тем же для всех точек прямой; поэтому для всех точек j рассматриваемого набора справедливо неравенство
Умножив обе части на SiSj и выполнив сокращения, можно переписать это в виде
Si Рj < Sj Рi.
Такие неравенства верны для всех значений j нашего набора, то есть для j = j1, j2,..., jk. Сложив их, получаем
или, что то же,
Но сумма в левой скобке, по самому выбору участков j, равна производительности Рi участка i, который они заменяют, а сумма в правой скобке есть полная величина затрат на всех указанных участках j, которую мы обозначим через S. Итак, получаем Si Рi < S Pi, или, сокращая на Pi, Si < S. Это значит, что замена набора участков j одним участком i, не меняя общей производительности Р ,приводит к снижению затрат, так что такая замена выгодна.