Мы в уме сосчитали 9 + 8 по (mod 12). Представьте себе, циферблат часов, посмотрите на 9, а затем отсчитайте 8 делений, и вы остановитесь на 5:
9 + 8 = 5 (mod 12)
Математики, вместо того чтобы представлять себе циферблаты на часах, часто выбирают кратчайший путь, выполняя модулярные вычисления следующим образом. Вначале вычисление проводится по правилам обычной арифметики. Затем, если мы хотим узнать ответ по (mod x), мы делим результат, полученный на предыдущем этапе, на x и записываем остаток. Этот остаток и является ответом по (mod x). Чтобы найти ответ в примере 11 x 9 (mod 13), мы поступим следующим образом:
11 x 9 = 99
99 + 13 = 7, остаток 8
11 x 9 = 8 (mod 13)
Функции, с которыми работают в модулярной арифметике, ведут себя хаотичным образом, что, в свою очередь, иногда делает их односторонними функциями. Это становится очевидным, если сравнить простую функцию в обычной арифметике с этой же простой функцией, но в модулярной арифметике. В первой арифметике данная функция будет двусторонней и легко вычисляемой в обратном направлении; во второй арифметике она станет односторонней, и обратные вычисления провести будет сложно. В качестве примера возьмем функцию 3x. Это означает следующее: взять число x, а затем умножить 3 само на себя x раз, в результате получится новое число. Например, если x = 2, и мы выполняем функцию, тогда:
3x = З2 = 3 x 3 = 9.
Другими словами, функция преобразует 2 в 9. В обычной арифметике по мере увеличения x возрастает также и значение функции. Поэтому если нам дано значение функции, то сравнительно несложно выполнить обратное преобразование и найти исходное значение.
Например, если результат равен 81, мы можем установить, что x равно 4, потому что 34 =_81. Если мы ошибемся и предположим, что x равно 5, путем вычисления мы можем определить, что 35 = 243, а это подскажет нам, что мы выбрали слишком большое значение x. После этого мы уменьшим x до 4 и получим правильный ответ. Короче говоря, даже когда наше предположение неверно, мы можем исправить свою ошибку и получить точное значение x, выполнив тем самым обратное преобразование функции.
Однако в модулярной арифметике эта же самая функция ведет себя не так благоразумно. Представьте, что нам сообщают, что 3x по модулю 7 (mod 7) дает 1, и просят найти значение x. В голову ничего не приходит, поскольку мы, как правило, не знакомы с модулярной арифметикой. Мы можем предположить, что x = 5, и мы можем вычислить З5 (mod 7). В ответе получится 5, что слишком много, так как нам нужно, чтобы в ответе было 1. Напрашивается желание уменьшать значения x. Но так мы будем двигаться неверным путем, поскольку в действительности ответ будет x = 6.
Рис. 64 Модулярная арифметика выполняется на конечном множестве чисел, которые можно рассматривать как числа на циферблате часов. В этом случае мы можем вычислить 6 + 5 по модулю 7, если взять в качестве исходной точки 6 и отсчитать 5 делений, в результате чего мы окажемся на цифре 4.
В обычной арифметике мы можем проводить проверку чисел и в состоянии понять, движемся ли мы в нужном направлении или выбранное направление неверно. Модулярная арифметика не дает нам
таких путеводных нитей, и выполнять обратное преобразование функции гораздо труднее. Зачастую, единственный способ выполнить обратное преобразование функции в модулярной арифметике — это составить таблицу, вычисляя значение функции для множества значений x, пока не будет найден нужный ответ. В таблице 25 показан результат вычисления нескольких значений функции для обычной и для модулярной арифметики. Здесь ясно видно хаотическое поведение функции, когда расчеты проводятся в модулярной арифметике. До тех пор пока мы имеем дело со сравнительно небольшими числами, составление такой таблицы лишь слегка утомительно, но как же мучительно тягостно создавать таблицу, если имеешь дело с такой, к примеру, функцией, как 453x (mod 21 997). Это классический пример односторонней функции, так как я могу выбрать значение для x и вычислить результирующее значение функции, но если я сообщу вам значение функции, скажем, 5787, у вас возникнут огромные трудности при обратном преобразовании функции и вычислении выбранного мною значения x. Чтобы провести вычисления и получить число 5787, мне понадобится лишь несколько секунд, вам же потребуются многие часы, чтобы составить таблицу и найти мое x.