Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.
В конце XVIII века, в начале XIX века было сочинено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании, сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. Число r называют модулем комплексного числа z.
Геометрическое толкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Комплексные числа нашли применение в многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел — чисел с несколькими «мнимыми» единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности.
Совершенно незаметно появился фрагмент трёхполярных отношений в теории групп. Постановка в соответствие двум обратным объектам единицы и есть фрагмент трёхполярного пространства. Конечно, в том тоже стихия, которая пришла от деления. Если «расщеплением» двухполярности математики наткнулись на четырёхполярность, то операция деления привела их к трёхполярным свойствам. Увы, но, в отличие от «комплексных чисел», никто не заметил и не оценил возможный прорыв в трёхполярность. Возможно, что по инерции (как получились «гиперкомплексные числа» кто-нибудь и наткнулся бы на пятиполярность и иные виды поляризованных пространств.
Из истории развития комплексных и гиперкомплексных чисел, а так же абстрактных алгебр, заметно упрямство математиков, которые производя «расщепление» двухполярных «действительных чисел», напроч лишены различения между поляризацией и количествами. Это же видно и в формальных моделях (группа, кольцо, тело, алгебра).
Серьёзный отрыв от двухполярности делает Николай Иванович Лобачевский (1793–1856) и Георг Фридрих Бернхард Риман (1826–1866). Однако чёткого осмысления такого вида ума нет. Причина простая: связь свойств анализатора зрения со свойствами ума нужно было осознавать. Для этого нужно знать и различать виды ума.
В 1977 году В.Ленский показывает, что у чисел нет никакой «мнимости». Есть поляризованные объекты. Примером таких объектов можно поставить двухполярные числа, которые назвали «действительными», четырёхполярные числа, которые назвали «комплексными», суперпозицию трёх четырёхполярных лок (пространств «комплексных чисел»), которые назвали «кватернионами» и изыскание ещё расщеплений (октавы) и «гиперкомплексные числа».
В.Ленский развивает теорию многополярности, в которой все перечисленные небывалые числа становятся частным случаем огромной системы поляризованных пространств.
Обыденное мышление
Теперь никто не скажет когда появилась поляризация в виде «моё», «чужое», «друзья», «враги», «здоровье», «болезнь». Точно так же не найти автора двухполярных разделений на «положительное» и «отрицательное». Обученный с детства ум людей цивилизации Запада успешно поляризует объекты восприятий и классифицирует их в две группы. К полярности «положительное» относят класс предпочитаемых объектов: «друзья», «здоровье», «моё», «счастье», «любовь», «успех», «положительные эмоции» и т. д. К классу «отрицательных» относят не предпочтительные: «враги», «болезнь», «неудача», «несчастье», «ненависть», «отрицательные эмоции» и т. д.
Ум этой цивилизации непрестанно сортирует поступающие объекты мышления, а затем использует их в отношении друг с другом. Двухполярные законы отношений становятся свойством линейного ума, так, что, никто не сомневается, что «уничтожение врагов это хорошо», а «уничтожение благ это плохо» Как и положено ум двухполярных отношений пришел к мере.