Это, очевидно, верное соотношение. Действительно, если v = 0, то длина наблюдаемой волны равна длине излучаемой. Иначе, при удалении наблюдателя от источника, длина наблюдаемой волны всегда больше длины излучаемой. Напротив, при сближении, отрицательном значении скорости, длина волны оказывается меньше излученной. Если подставить эти значения длин волн в уравнение для красного смещения, то получим:
Соотношение выглядит корректным, поскольку, действительно, при удалении приёмника вычисленная по нему длина волны λнаб всегда больше излученной. Иначе, при нулевой скорости они равны, а при сближении (скорость отрицательна) вычисленная длина волны λнаб всегда оказывается меньше излученной. Однако здесь мы обязаны учесть ещё один эффект – лоренцево сокращение длины. Поскольку измеряемый участок волны как физический объект движется относительно неподвижного наблюдателя, его внутренняя линейка сокращается относительно неподвижной линейки наблюдателя. Это прямо следует из принципа относительности: если приемник движется относительно источника с некоторой скоростью, то это тождественно тому, что и источник движется с той же скоростью относительно приёмника. Поскольку нас интересует картина с точки зрения приёмника, то мы и принимаем, что именно источник движется относительно него. Из этого следует, что движущемуся наблюдателю длина волны и связанная с источником и движущаяся вместе с ним линейка видятся более короткими:
Буквально это означает, что наблюдатель видит сократившуюся волну. Несмотря на это лоренцево сокращение, мы вновь отмечаем корректность полученного соотношения: при любом значении скорости наблюдаемая движущимся приёмником длина волны всегда больше излученной длины волны, поскольку величина дроби всегда больше единицы:
При нулевой скорости длины сравниваемых волн равны:
И, наоборот, при сближении участников, когда скорость отрицательна, наблюдаемая длина волны всегда меньше излученной:
Таким образом, в соответствие с принятыми выше обозначениями, находим:
Как видим, полученное соотношение явно не совпадает с уравнением (6), полученным из уравнений приведённой цитаты, однако традиционное конечное уравнение из него выводится строго корректно [3, с.5]:
Преобразовав последнее равенство в уравнении, находим:
Если раскрыть скобки, то получим другой известный вариант этого уравнения:
Отсюда можно сделать вывод, что, по всей видимости, в цитате [8] содержится неточность: в знаменателе уравнения (4) должен стоять знак плюс. Эту же неточность следует отметить и в уравнении (48.16) [5, с.159].
Литература
1. Bedran M.L., A comparison between the Doppler and cosmological redshifts, Am. J. Phys. 70 (4), 2002.
2. Brzeski J.G. (J. Georg von Brzeski), Expansion of the Universe – mistake of Edvin Hubble? Cosmological redshift and related electromagnetic phenomena in static Lobachevskian (hyperbolic) Universe. Acta physica polonica B, No.6, Vol.39 (2008). URL: https://www.actaphys.uj.edu.pl/fulltext?series=Reg&vol=39&page=1501
3. Gray R., Dunning-Davies J., A review of redshift and its interpretation in cosmology and astrophysics. Department of Physics, University of Hull, Hull HU6 7RX, England
4. Космологическое красное смещение, Википедия, URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Космологическое_красное_смещение
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – Издание 7-е, исправленное. – М.: Наука, 1988. – С. 158—159. – («Теоретическая физика», том II). – ISBN 5-02-014420-7.
6. Степанов С.С., Эффект Доплера, 2017, URL:
http://synset.com/ru/Эффект_Доплера
http://synset.com/pdf/phys_v1.pdf, с.80
7. Сурдин В.Г., Красное смещение, ГАИШ, Москва, URL: http://www.astronet.ru/db/msg/1177975
8. Эффект Доплера, Википедия, URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Эффект_Доплера