В «Теории движения твердого тела» Эйлер развил механику вращательного движения, введя такие фундаментальные понятия, как главные оси, проходящие через центр инерции, по отношению к которым момент инерции имеет экстремальное значение. Свободную ось вращения Эйлер определяет как ось, которая не испытывает никакого силового воздействия при вращении тела вокруг нее.
Еще в 1758 г. Эйлер написал уравнения вращательного движения твердого тела, отнесенные к главным осям, в следующем виде:
где р, q, r - угловые скорости вращения относительно трех главных осей, жестко связанных с телом; А, В, С - главные моменты инерции; L, М, N - моменты сил, приложенных к телу, относительно тех же главных осей.
Как видим, Эйлер внес существенный вклад в развитие механики. Написанные им уравнения до cего времени «работают» в современных курсах.
В XVIII в. происходило не только преобразование методов ньютоновской механики. Этот век отмечен поисками общих принципов механики, эквивалентных законам Ньютона, или даже более общих, чем эти принципы. В результате этих поисков были открыты принципы возможных перемещений в статике, принцип Даламбера и принцип наименьшего действия Мопер-тюи — Эйлера в динамике.
Лагранж в своем труде «Аналитическая механика», излагая историю развития принципов статики, относит первые формулировки соотношений между силами, действующими в простых механизмах, и проходимыми путями к Гвидо убальдо и Галилею. Лагранж считает, что «древние, по-видимому, не знали этого закона». Однако у Герона Александрийского встречается «золотое правило механики» в виде утверждения: «Что выигрывается в силе, то теряется в скорости». Многие историки науки считают, что это правило было известно еще Аристотелю. Эмпирически это правило, несомненно, было знакомо людям, имеющим дело с простыми механизмами, очень давно.
Принцип возможных перемещений, который Лагранж называет принципом виртуальных скоростей, был сформулирован И.Бернулли в 1717 г. в письме к Вариньону и опубликован в «Новой механике» в 1725 г. Лагранж формулирует этот принцип следующим образом:
«Если какая-либо система любого числа тел или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, к которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными».
Лагранж доказывал этот принцип, моделируя систему сил при помощи полиспастов и сводя действие этой системы к подъему или опусканию груза. Равновесие системы сил будет достигнуто тогда, когда при любом бесконечно малом перемещении точек системы груз не опускается. Лагранж указывал, что принцип виртуальных скоростей «дал повод для появления другого принципа, предложенного Мопертюи в 1740 г.».
История принципа П. Мопертюи также восходит к Герону, к утверждению о кратчайшем времени распространения света, которым Герои обосновал закон отражения.
Ферма применил этот принцип к преломлению света и вывел закон преломления, исходя из постулата: «Природа действует наиболее легкими и доступными путями». Свой вывод он изложил в письме к де ла Шамбру от 1 января 1662 г.
Иоганн Бернулли (1667—1748) сопоставил принцип ферма с предложенной им в 1696 г. вариационной механической задачей о линии быстрейшего ската тяжелой точки в поле тяжести (брахистохроне). Эту задачу Бернулли сформулировал так: «В вертикальной плоскости даны две точки Л и В. Определить путь АМВ, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдет до другой точки В в кратчайшее время»
И в принципе ферма и в задаче о брахистохроне речь идет об отыскании минимального значения интеграла:
«...Мною, — писал И. Бернулли, — открыто удивительное совпадение между кривизной луча света в непрерывно меняющейся среде и нашей брахистохронной кривой». Так впервые была подмечена оптико-механическая аналогия, сыгравшая важную роль в истории физики.
Задача о брахистохроне явилась также началом разработки нового раздела математики — вариационного исчисления. В развитии этого раздела математики основополагающую роль сыграл Эйлер, издавший в 1744 г. книгу «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопери-метрической задачи, взятой в самом широком смысле». Эйлер впервые применил термин «вариационное исчисление». Дальнейшее развитие вариационное исчисление получило в работах Лагранжа, который ввел символ варьирования 5 . Лагранж сообщил основные идеи своего метода в письме к Эйлеру еще в 1755 г. и опубликовал основополагающую статью по вариационному исчислению в 1762 г.