§ 45. Тождество силы тяготения и силы тяжести
Всем телам на поверхности Земли сила тяжести сообщает при их свободном падении ускорение g, равное приблизительно 981 см/сек2. Допустим, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния тела от центра Земли. Тогда, например, Луна, находящаяся от центра Земли на расстоянии в 60 земных радиусов (приблизительно), должна испытывать ускорение g' в 602 раз меньшее, чем ускорение на поверхности Земли, т.е. Из механики известно, что для точки, равномерно движущейся по кругу, центростремительное ускорение w = w2 , где w - угловая скорость точки, а r радиус круга. Принимая орбиту Луны за окружность с приближенным радиусом r = 60 · 6378 км, а период обращения Луны вокруг Земли равным примерно 27,3 средних суток (сидерический месяц), получим центростремительное ускорение орбитального движения Луны Полученные одинаковые числа для g' и w означают, что сила, которая удерживает Луну на ее орбите (сила притяжения), есть не что иное, как сила земной тяжести, ослабленная пропорционально отношению квадратов расстояния Луны от центра Земли и расстояния поверхности Земли от ее центра. На основании этого результата Ньютон и сделал вывод о том, что сила тяжести тождественна с силой взаимного тяготения, действующей между всеми телами Вселенной, и сформулировал свой закон в той форме, как он дан в § 43.
§ 46. Изменение силы тяжести на поверхности Земли
Сила тяжести на поверхности Земли есть равнодействующая двух сил: силы притяжения, направленной к центру массы Земли, и центробежной силы, направленной перпендикулярно к оси вращения Земли. Так как Земля сплюснута вдоль оси вращения, то сила притяжения у полюсов больше, чем в других местах, и уменьшается к экватору. Кроме того, центробежная сила действует против силы притяжения. Поэтому сила тяжести на поверхности Земли уменьшается при переходе от полюсов к экватору. Разница в ускорении силы тяжести между полюсами и экватором составляет g90 g0 = 983,2 - 978,0 = 5,2 см/сек2. Около 2/3 этой разности возникает за счет центробежного ускорения на земном экваторе и около 1/3 - за счет сплюснутости Земли. Среднее значение ускорения силы земной тяжести принимается равным g = 981 см/сек2 Результаты измерений ускорения силы тяжести в различных точках земной поверхности показали отклонения (возмущения) силы тяжести по сравнению с ее нормальным ходом, соответствующим эллипсоиду. Эти отклонения называются аномалиями силы тяжести и объясняются тем, что строение земной коры неоднородно как в отношении видимых наружных масс (горных массивов и т.п.), так и в отношении плотностей горных пород, составляющих земную кору. Ряд мелких неоднородностей в строении верхних слоев земной коры вызывают местные аномалии силы тяжести, охватывающие небольшие районы. Местные аномалии свидетельствуют о наличии залежей ископаемых, обладающих либо очень большой плотностью (например, руды металлов) либо очень маленькой плотностью (например, залежи нефти, каменной соли).
§47. Природа тяготения и его роль в астрономии
До создания теории строения атома были известны два типа взаимодействий между макроскопическими телами: гравитационное, описываемое законом всемирного тяготения (2.16), и электромагнитное, выражаемое уравнениями Максвелла. В обоих случаях силы, связанные с этими взаимодействиями, убывают обратно пропорционально квадрату расстояния и прямо пропорционально определенным характеристикам тел: массе в случае тяготения и заряду в электростатике. Так как в природе имеются два типа зарядов, противоположное действие которых в обычных телах, как правило, компенсирует друг друга, то для движения компактных масс типа звезд, планет, галактик и т. д. решающими оказываются гравитационные силы. Поэтому закон всемирного тяготения оказывается одним из наиболее важных законов природы, используемых в астрономии. В сочетании с другими законами механики он позволяет объяснить движения планет и искусственных тел в Солнечной системе, звезд в звездных скоплениях и в Галактике, изучить динамику других звездных систем. Тяготением определяется форма большинства небесных тел и, в частности, сферичность звезд и планет. Закон всемирного тяготения в сочетании с законами кинетической теории газов позволяет выявить важнейшие закономерности внутреннего строения звезд и их эволюции. Гравитационные силы во многом определяют свойства атмосфер звезд и планет и характер происходящих в них явлений. Закон всемирного тяготения в классической формулировке Ньютона справедлив только для относительно слабых гравитационных полей, создаваемых обычными телами с не слишком большими значениями плотности. Для сильных гравитационных полей, а также для движений с очень большими скоростями (соизмеримыми со скоростью света) более точное описание движения дает общая теория относительности (ОТО), которая является теорией тяготения, учитывающей влияние распределения масс на свойства пространства и времени. С помощью общей теории относительности удается объяснить некоторые тонкие закономерности движения ближайшей к Солнцу планеты - Меркурия. Она существенна для понимания природы сверхплотных тел (нейтронные звезды и гипотетические “черные дыры”). На ней основана вся современная космогония, т. е. теория строения и эволюции Вселенной в целом. Важность тяготения в астрономии не означает, что в космических условиях не играют роли другие типы взаимодействий. Электромагнитные взаимодействия оказываются весьма существенными, особенно в тех случаях, когда приходится иметь дело c движением ионизованного газа (плазмы) в магнитном поле. Электромагнитные взаимодействия особенно важны в большинстве микроскопических (атомных) процессов, в результате которых возникает наблюдаемое излучение небесных тел. В масштабе отдельных атомов, т.е. в микромире, гравитационные взаимодействия сохраняются, но относительная их роль становится совсем иной. Электромагнитное взаимодействие, скажем, протона и электрона неизмеримо сильнее гравитационного, которым в большинстве случаев можно просто пренебречь. В атомном ядре, где частицы сближаются значительно сильнее, чем в атоме, проявляются еще два новых типа взаимодействия, характер которых известен хуже, чем первых двух. По-видимому, их действие убывает с расстоянием значительно быстрее, чем в законах Ньютона и Кулона. По величине одно из этих взаимодействий в масштабах ядра атома оказывается самым сильным из всех известных. Это взаимодействие принято называть сильным. Оно обеспечивает ядерные реакции синтеза в звездах. Другое взаимодействие по некоторым характеристикам оказывается сильнее гравитационного, но слабее электрического. Его называют слабым взаимодействием, примером которого может служить бета-распад протона - процесс, с которого начинается большинство ядерных реакций в недрах звезд. Таким образом, мы видим, что в астрономии приходится иметь дело со всеми видами взаимодействий, известными в природе. Однако в первую очередь и чаще всего мы встречаемся с гравитацией.
§ 48. Движение материальной точки под действием силы притяжения (задача двух тел)
Эта задача решается путем интегрирования дифференциальных уравнений движения, получаемых из основного уравнения динамики материальной точки (2.14), в котором сила F есть сила притяжения. Мы не будем интегрировать эти уравнения, так как с этим учащийся познакомится в курсах теоретической астрономии и небесной механики Остановимся лишь на результатах решений.
Если неподвижная масса М, сосредоточенная в точке С, стала притягивать к себе в некоторый момент материальную точку т с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, то ускорение точки т будет направлено по прямой тС, а ее дальнейшее движение будет зависеть от расстояния и от величины и направления скорости v0, которые она имела в начальный момент (в момент начала действия притяжения массой М). Если скорость v0 > 0, но не превосходит некоторого предела vc , то точка т будет двигаться по эллипсу, в одном из фокусов которого будет находиться точка С (рис. 30). Плоскость эллипса будет проходить через точки С, т и направление скорости v0 . Форма и размеры эллипса будут различны, смотря по величине скорости v0 . При малых v0 эллипс будет сильно сжатым, его большая ось будет лишь немного больше, чем Cm, и точка С будет находиться в фокусе, далеком от m. Если скорость v0 будет близка к скорости vc , но меньше ее, то эксцентриситет эллипса будет мал, его большая полуось будет лишь немного меньше, чем Cm, точка С приблизится к центру эллипса, но останется в фокусе, далеком от т. Если начальная скорость v0 = vc и будет направлена перпендикулярно к линии Cm, то точка m будет двигаться по кругу радиуса Сm. Если v0 > vc , но не превосходит некоторого предела vп = vc , то точка т будет двигаться по эллипсу, но точка С при этом будет находиться в фокусе, близком к m, а большая ось эллипса будет тем больше, чем ближе v0 к vп . Если v0 = vп = vc , то точка т будет двигаться по параболе, обе ветви которой уходят в бесконечность, приближаясь к направлению, параллельному оси Ст. По мере того как точка т будет удаляться от тела М, ее скорость будет стремиться к нулю. Если v0 > vп , то точка т будет двигаться по гиперболе, ветви которой уходят в бесконечность и, при очень большой начальной скорости, приближаются к направлению, перпендикулярному к оси Ст. По мере того как точка т будет удаляться по гиперболе, ее скорость будет стремиться к некоторой постоянной величине. Наконец, в предельных случаях, когда v0 = ¥, точка т будет двигаться по прямой тb, а когда v0 = 0, то по прямой тС. Скорость v точки т на любом расстоянии r от точки С получается из формулы