ℎν
=
1
2
𝑚𝑣²
+
χ
𝑖
.
(23.2)
Число ионизаций с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν в 1 см³ за 1 с равно
𝑛
𝑖
𝑘
𝑖ν
⎛
⎜
⎝
1-exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν
𝑘𝑇
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑐ρν
ℎν
𝑑ν
,
где 𝑛𝑖 — число атомов в 𝑖-м состоянии, 𝑘𝑖ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом (множитель в скобках учитывает отрицательное поглощение), ρν — плотность излучения частоты ν. На основании принципа детального равновесия имеем
𝑛⁺𝑛
𝑒
β
𝑖
(𝑣)
𝑓(𝑣)
𝑣
𝑑𝑣
=
𝑛
𝑖
𝑘
𝑖ν
⎛
⎜
⎝
1-exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν
𝑘𝑇
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑐ρν
ℎν
𝑑ν
.
(23.3)
Как известно, при термодинамическом равновесии функция 𝑓(𝑣) определяется формулой Максвелла, плотность излучения ρν — формулой Планка и распределение атомов по состояниям — формулами Больцмана и Саха. При помощи перечисленных формул из соотношения (23.3) получаем
β
𝑖
(𝑣)
=
ℎ²ν²
𝑐²𝑚²𝑣²
𝑔𝑖
𝑔⁺
𝑘
𝑖ν
,
(23.4)
где 𝑔𝑖 — статистический вес 𝑖-го состояния данного атома, и 𝑔⁺ — статистический вес основного состояния иона.
Формула (23.4) и даёт искомую связь между величинами β𝑖(𝑣) и 𝑘𝑖ν. Хотя при выводе её предполагалось термодинамическое равновесие, но она верна, разумеется, всегда (так как вероятности поглощения и излучения квантов не зависят от распределения атомов по состояниям и квантов по частотам).
Подставляя (23.4) в (23.1), получаем следующее выражение для коэффициента рекомбинации:
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
𝑔𝑖
𝑔⁺
ℎ²
𝑐²𝑚²
∞
∫
0
ν²
𝑣
𝑘
𝑖ν
𝑓(𝑣)
𝑑𝑣
.
(23.5)
Здесь функция 𝑓(𝑣) даётся формулой Максвелла при температуре 𝑇𝑒, т.е.
𝑓(𝑣)
=
4π𝑚³
(2π𝑚𝑘𝑇𝑒)³/²
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑚𝑣²
2𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝑣²
.
(23.6)
Чтобы вычислить величину 𝐶𝑖(𝑇𝑒) по формуле (23.5), надо знать коэффициент поглощения для данного атома. Мы сейчас найдём 𝐶𝑖(𝑇𝑒) для водорода. В этом случае коэффициент поглощения 𝑘𝑖ν Даётся формулой (5.6). Подставляя (5.6) в (23.5) и пользуясь также формулами (23.2) и (23.6), получаем
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
2⁹π⁵
(6π)³/²
𝑒¹⁰
𝑚²𝑐³ℎ³
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑘𝑇𝑒
⎞³/₂
⎟
⎠
1
𝑖³
×
×
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
,
(23.7)
где 𝐸₁𝑥 — интегральная показательная функция.
Формулу (23.7) можно переписать в виде
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
3,22⋅10⁻⁶
𝑀
𝑖
(𝑇
𝑒
)
,
(23.8)
где
𝑀
𝑖
(𝑇)
=
1
𝑇³/² 𝑖³
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(23.9)
Значения функции 𝑀𝑖(𝑇)⋅10⁸ приведены в табл. 27.
Аналогично могут быть найдены коэффициенты рекомбинации для других атомов.
Таблица 27
Значения функции 𝑀𝑖(𝑇)⋅10⁸
𝑖
𝑇, 𝐾
1 000
5 000
10 000
20 000
50 000
1
20,0
8,8
6,0
3,9
2,3
2
9,8
3,9
2,7
1,6
0,78
3
6,4
2,5
1,4
0,86
0,37
4
4,7
1,6
0,94
0,52
0,21
5
3,5
1,1
0,64
0,34
0,13
6
2,9
0,86
0,46
0,23
0,088
7
2,3
0,66
0,35
0,17
0,062
8
1,9
0,52
0,26
0,13
0,046
2. Степень ионизации в туманности.
При термодинамическом равновесии степень ионизации атомов определяется формулой Саха. В туманностях нет термодинамического равновесия, поэтому мы должны вывести новую ионизационную формулу. Для этого мы воспользуемся тем, что туманности стационарны, т.е. физические условия в них не меняются с течением времени (на самом деле изменение происходит, но очень медленно). Точнее говоря, будем считать, что в каждом объёме число ионизаций равно числу рекомбинаций.
Так как ионизация атомов в туманностях происходит преимущественно из основного состояния, то число ионизаций, совершающихся в 1 см³ за 1 с под действием излучения в интервале частот от ν до ν+𝑑ν равно
𝑛₁
𝑘
1ν
𝑐ρν
ℎν
𝑑ν
.
Плотность излучения в туманности ρν определяется формулой (22.2). Поэтому для полного числа ионизаций, происходящих в единице объёма за единицу времени, получаем
𝑛₁
𝑊
∞
∫
ν₁
𝑘
1ν
𝑐ρν⃰
ℎν
𝑑ν
,
где ν₁ — частота ионизации из основного состояния.
Что же касается рекомбинаций, то они происходят на все уровни. Поэтому полное число рекомбинаций, случающихся в 1 см³ за 1 с, будет равно
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
1
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
.
Приравнивая друг к другу два последних выражения, имеем