𝑛₁
𝑊
∞
∫
ν₁
𝑘
1ν
𝑐ρν⃰
ℎν
𝑑ν
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
1
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
.
(23.10)
Эта формула и даёт возможность определить степень ионизации атомов в туманности, если известны величины 𝑘1ν и 𝐶𝑖(𝑇𝑒). Однако её можно сильно упростить, воспользовавшись соотношением (23.5). Предварительно перепишем формулу (23.10) в виде
𝑝
𝑛₁
𝑊
∞
∫
ν₁
𝑘
1ν
𝑐ρν⃰
ℎν
𝑑ν
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶₁(𝑇
𝑒
)
,
(23.11)
где через 𝑝 обозначена доля захватов на первый уровень. Принимая во внимание соотношение (23.5), а также считая, что величина ρν⃰. даётся формулой Планка с температурой 𝑇∗ а величина 𝑓(𝑣) — формулой Максвелла с температурой 𝑇𝑒 вместо (23.11) находим
𝑝
𝑛₁
𝑊
∞
∫
ν₁
𝑘
1ν
ν² 𝑑ν
=
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
-1
⎞
⎟
⎠
𝑘𝑇
∗
=
𝑔₁
𝑔⁺
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑚ℎ³
2(2π𝑚𝑘𝑇𝑒)³/²
×
×
∞
∫
0
𝑘
1ν
ν²
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑚𝑣²
2𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝑣
𝑑𝑣
.
(23.12)
Чтобы вычислить интегралы, входящие в соотношение (23.12), надо знать зависимость 𝑘1ν от частоты. Для разных атомов эта зависимость различна, однако мы примем, что для всех атомов 𝑘1ν∼1/ν². Происходящая от этого ошибка сравнительно невелика, а вычисления существенно упрощаются. После выполнения интегрирования формула (23.12) принимает вид
𝑛𝑒𝑛⁺
𝑛₁
=
𝑔⁺
𝑔₁
𝑝𝑊
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑇∗
⎞½
⎟
⎠
2(2π𝑚𝑘𝑇∗)³/²
ℎ³
×
×
ln
⎛
⎜
⎝
1-
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν₁
𝑘𝑇∗
⎫
⎪
⎭
⎞-1
⎟
⎠
.
(23.13)
В обычно встречающихся на практике случаях ℎν₁/𝑘𝑇∗≫1. Поэтому вместо (23.13) имеем
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑛₁
=
𝑔⁺
𝑔₁
𝑝𝑊
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑇∗
⎞½
⎟
⎠
2(2π𝑚𝑘𝑇∗)³/²
ℎ³
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν₁
𝑘𝑇∗
⎫
⎪
⎭
.
(23.14)
Это окончательный вид формулы ионизации для туманностей.
Мы видим, что формула (23.14) отличается от формулы Саха наличием множителя 𝑝𝑊(𝑇𝑒/𝑇∗)¹/² в правой части. Этот множитель для газовых туманностей очень мал. Однако это не значит, что степень ионизации 𝑛⁺/𝑛₁ также мала. В действительности степень ионизации в туманностях может быть весьма значительной, так как малость коэффициента дилюции 𝑊 компенсируется малостью концентрации свободных электронов 𝑛𝑒.
В планетарных туманностях, как мы знаем, 𝑊≈10⁻¹⁴, а ниже будет показано, что 𝑛𝑒≈10⁴ см⁻³. В этом случае формула (23.14) даёт, что для водорода степень ионизации будет больше единицы при 𝑇∗>20 000 K. В том же случае для гелия 𝑛⁺/𝑛₁>1 при 𝑇∗>33 000 K.
3. Ионизация в туманности большой оптической толщины.
Формула (23.14) справедлива лишь тогда, когда оптическая толщина туманности за границей основной серии данного атома меньше единицы. В противном случае необходимо учитывать поглощение излучения звезды, а также наличие диффузного излучения туманности, происходящего от рекомбинаций на первый уровень.
Поглощение излучения звезды на пути до данного места туманности может быть учтено путём введения в правую часть формулы (23.14) множителя 𝑒-τ, где τ — оптическое расстояние от звезды за границей основной серии, соответствующее некоторому среднему коэффициенту поглощения. Что же касается учёта ионизаций под действием диффузного излучения туманности, то его можно приближённо выполнить, отбрасывая в правой части формулы (23.10) член, соответствующий рекомбинациям на первый уровень (так как в туманности большой оптической толщины рекомбинации на первый уровень компенсируются ионизациями при поглощении диффузного излучения). Легко видеть, что в таком случае в правую часть формулы (23.14) вместо множителя 𝑝 должен входить множитель 𝑝/(1-𝑝). Для атома водорода доля захватов на первый уровень близка к половине, вследствие чего множитель 𝑝/(1-𝑝) близок к единице. Мы будем считать, что этот множитель примерно равен единице и для других атомов. Принимая во внимание все сказанное, можно переписать формулу (23.14) в следующем виде:
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑛₁
=
𝑔⁺
𝑔₁
𝑊
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑇∗
⎞½
⎟
⎠
2(2π𝑚𝑘𝑇∗)³/²
ℎ³
×
×
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν₁
𝑘𝑇∗
⎫
⎪
⎭
⋅
𝑒
-τ
.
(23.15)
Представляет интерес вопрос, как меняется степень ионизации 𝑛⁺/𝑛₁, с изменением расстояния 𝑟 от звезды? Чтобы упростить рассмотрение этого вопроса, мы возьмём планетарную туманность, толщина которой мала по сравнению с её радиусом. В гаком случае коэффициент дилюции в туманности можно считать постоянным (𝑊=const). Кроме того, примем, что концентрация атомов в туманности также постоянна (𝑛=const).
Наш расчёт будет относиться к водороду. Однако результаты в принципе будут справедливы для всех атомов, которые производят сильное поглощение за границами своих основных серий в туманностях.
Обозначим через 𝑥 долю ионизованных атомов, т.е. положим
𝑛⁺
=
𝑥𝑛
,
𝑛₁
=
(1-𝑥)𝑛
,
𝑛
𝑒
=
𝑥𝑛
.
(23.16)
Тогда вместо формулы (23.15); получаем
𝑥²
1-𝑥
=
𝑔⁺
𝑔₁
𝑊
𝑛
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑇∗
⎞½
⎟
⎠
2(2π𝑚𝑘𝑇∗)³/²
ℎ³
×
×
exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν₁
𝑘𝑇∗