⎫
⎪
⎭
⋅
𝑒
-τ
.
(23.17)
Входящее в эту формулу оптическое расстояние τ равно
τ
=
𝑛𝑘
𝑟
∫
𝑟₁
(1-𝑥)
𝑑𝑟
,
(23.18)
где 𝑘 — средний коэффициент поглощения и 𝑟₁ — радиус внутренней границы туманности.
Из соотношений (23.17) и (23.18) легко получить дифференциальное уравнение, связывающее величины 𝑥 и 𝑟. Логарифмируя, а затем дифференцируя соотношение (23.17), находим
⎛
⎜
⎝
2
𝑥
+
1
1-𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
=-
𝑑τ
.
(23.19)
При помощи (23.18) отсюда имеем
⎛
⎜
⎝
2
𝑥
+
1
1-𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
1-𝑥
=-
𝑛𝑘
𝑑𝑟
.
(23.20)
Интегрирование уравнения (23.20) даёт
2 ln
𝑥₀
1-𝑥₀
1-𝑥
𝑥
+
1
1-𝑥₀
-
1
1-𝑥
=
𝑛𝑘
(𝑟-𝑟₁)
,
(23.21)
где 𝑥₀ — значение величины 𝑥 при τ=0.
Таблица 28
Доля ионизованных атомов 𝑥
в зависимости от 𝑟 и τ
𝑥
𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁)
τ
0,999
0
0
0,997
669
1,1
0,990
907
2,3
0,970
963
3,5
0,900
999
4,7
0,700
1009
6,4
0,500
1012
7,6
В таблице 28 в виде примера приведены значения величины 𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁), вычисленные по формуле (23.21) для разных значений 𝑥. При этом принято, что 1-𝑥₀=0,001. Там же даны значения величины τ, найденные по формуле
τ
=
ln
⎛
⎜
⎝
𝑥₀
𝑥
⎞²
⎟
⎠
1-𝑥
1-𝑥₀
,
(23.22)
вытекающей из (23.17).
Из приведённых формул и из таблицы видно, что величина 𝑥 остаётся близкой к единице до значения 𝑟, определяемого формулой
𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁)
≈
1
1-𝑥₀
,
(23.23)
после чего резко убывает на сравнительно небольшом интервале изменения 𝑟. Значения 𝑟, даваемые формулой (23.23), соответствуют значениям τ порядка нескольких единиц.
Полученный результат вполне понятен из физических соображений. Когда оптическое расстояние τ становится порядка единицы, происходит уменьшение степени ионизации, т.е. возрастание числа нейтральных атомов. В свою очередь рост числа нейтральных атомов ведёт к увеличению оптического расстояния τ.
Таким образом, туманность может быть разделена на две области: внутреннюю, в которой степень ионизации велика (𝑛⁺/𝑛₁≫1) и внешнюю, в которой степень ионизации мала (𝑛⁺/𝑛₁≪1), с весьма резкой границей между ними. Первая область светится в линиях данного атома, возникающих в результате фотоионизаций и рекомбинаций, вторая в них не светится. В случае атома водорода первая из этих областей называется обычно зоной 𝙷 II, вторая — зоной 𝙷 I (рис. 31).
Рис. 31
Если температура звезды достаточно высока, чтобы вызвать вторую ионизацию данного атома, то туманность может быть разбита на три области. В первой, ближайшей к звезде области существуют в основном дважды ионизованные атомы и свечение происходит в линиях однажды ионизованного атома. В следующей области находятся в основном однажды ионизованные атомы и она светится в линиях нейтрального атома. В последней области содержатся лишь нейтральные атомы и она совсем не светится в линиях данного элемента, имеющих рекомбинационное происхождение.
Сказанное означает, что в туманностях должна существовать «стратификация» (т.е. слоистость) излучения. Этот теоретический вывод подтверждается наблюдениями: изображения планетарных туманностей, полученные с помощью бесщелевого спектрографа, имеют в разных линиях неодинаковую величину. При этом, как и следовало ожидать, размеры изображения в общем тем меньше, чем больше потенциал ионизации атома. Например, размеры изображений туманностей в линиях ионизованного гелия значительно меньше, чем в линиях нейтрального гелия.
4. Энергетический баланс свободных электронов.
При выводе ионизационной формулы мы считали, что в каждом элементарном объёме туманности число свободных электронов не меняется с течением времени. Теперь рассмотрим ещё одно важное уравнение стационарности, выражающее собой закон сохранения энергии свободных электронов. Это позволит получить зависимость между температурой звезды и электронной температурой туманности [4].
Мы будем считать, что свободные электроны возникают при фотоионизации атомов водорода. Среднюю энергию, получаемую электроном при фотоионизации, обозначим через ε. Так как число ионизаций должно равняться числу рекомбинаций, то количество энергии, приобретаемое электронами в 1 см³ за 1 с будет равно
ε
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
1
𝐶
𝑖
.
Свободные электроны расходуют свою энергию разными путями. Некоторая часть их энергии тратится на излучение в непрерывном спектре при рекомбинациях и свободно-свободных переходах. Эту часть энергии мы обозначим через
𝑛
𝑒
𝑛⁺
⎛
⎜
⎝
∞
∑
1
𝐶
𝑖
ε
𝑖
+
𝑓
⎞
⎟
⎠
,
где ε𝑖 — средняя энергия свободного электрона, захваченного на 𝑖-й уровень. Другая часть энергии свободных электронов, которую мы обозначим через 𝐸, расходуется на возбуждение свечения в линиях «небулия» (в предыдущем параграфе приближённо считалось, что на это идёт вся энергия, получаемая свободными электронами при фотоионизациях). Наконец, свободные электроны могут тратить свою энергию на возбуждение атомов водорода. Хотя энергия, требуемая для возбуждения атома водорода, и велика, но этих атомов очень много, вследствие чего потерю энергии свободных электронов при столкновениях с ними надо принимать во внимание. Мы обозначим через 𝑛₁𝑛𝑒𝐷𝑖 число возбуждений 𝑖-го уровня водорода и через 𝑛₁𝑛𝑒𝐷𝑐 — число ионизаций атома водорода, происходящих в 1 см³ за 1 с при столкновениях со свободными электронами. Тогда энергия, теряемая свободными электронами при этих столкновениях, будет равна
𝑛₁𝑛
𝑒
⎛
⎜
⎝
∞
∑
2
𝐷
𝑖
ℎ
ν₁
𝑖
+
𝐷
𝑐
ℎ
ν₁
𝑐
⎞
⎟
⎠
.