На основании закона сохранения энергии имеем
ε
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∑
1
𝐶
𝑖
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
⎛
⎜
⎝
∞
∑
1
𝐶
𝑖
ε
𝑖
+
𝑓
⎞
⎟
⎠
+𝐸+
+
𝑛₁𝑛
𝑒
⎛
⎜
⎝
∞
∑
2
𝐷
𝑖
ℎ
ν₁
𝑖
+
𝐷
𝑐
ℎ
ν₁
𝑐
⎞
⎟
⎠
.
(23.24)
Будем для простоты считать, что температура в туманности везде одинакова. Тогда, интегрируя соотношение (23.24) по всему объёму туманности, находим
ε
∞
∑
1
𝐶
𝑖
∫
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑑𝑉
=
⎛
⎜
⎝
∞
∑
1
𝐶
𝑖
ε
𝑖
+
𝑓
⎞
⎟
⎠
∫
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑑𝑉
+
+
∫
𝐸
𝑑𝑉
+
⎛
⎜
⎝
∞
∑
2
𝐷
𝑖
ℎ
ν₁
𝑖
+
𝐷
𝑐
ℎ
ν₁
𝑐
⎞
⎟
⎠
∫
𝑛₁
𝑛
𝑒
𝑑𝑉
,
(23.25)
где ε — энергия, получаемая электроном при фотоионизации, средняя для всей туманности.
Энергию, излучаемую туманностью в линиях «небулия», удобно выразить через энергию, излучаемую туманностью в какой-либо бальмеровской линии, например, в линии 𝙷β. Делая это, имеем
∫
𝐸
𝑑𝑉
=
𝐼Neb
𝐼𝙷β
𝐴₄₂
ℎ
ν₂₄
∫
𝑛₄
𝑑𝑉
,
(23.26)
где 𝐼Neb/𝐼𝙷β — отношение интенсивностей линий «небулия» и 𝙷β в спектре туманности. Но величина 𝑛𝑘, представляющая собой число атомов водорода в 𝑘-м состоянии в 1 см³, должна быть пропорциональна 𝑛𝑒𝑛⁺, так как заполнение уровней атома водорода происходит в результате рекомбинаций. Поэтому, вводя обозначение 𝑛𝑘=𝑧𝑘𝑛𝑒𝑛⁺ (об определении чисел 𝑧𝑘 см. в следующем параграфе), вместо (23.26) получаем
∫
𝐸
𝑑𝑉
=
𝐼Neb
𝐼𝙷β
𝐴₄₂
ℎ
ν₂₄
𝑧₄
∫
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑑𝑉
.
(23.27)
Подставляя (23.27) в (23.25), находим
ε
∞
∑
1
𝐶
𝑖
=
∞
∑
1
𝐶
𝑖
ε
𝑖
+𝑓+
𝐼Neb
𝐼𝙷β
𝐴₄₂
ℎ
ν₂₄
𝑧₄
+
+
𝑛₁
𝑛⁺
⎛
⎜
⎝
∞
∑
2
𝐷
𝑖
ℎ
ν₁
𝑖
+
𝐷
𝑐
ℎ
ν₁
𝑐
⎞
⎟
⎠
,
(23.28)
где
𝑛₁
𝑛⁺
=
∫𝑛₁𝑛𝑒𝑑𝑉
∫𝑛𝑒𝑛⁺𝑑𝑉
.
(23.29)
Уравнение (23.28) можно рассмотреть для двух предельных случаев. В первом случае предположим, что оптическая толщина туманности в лаймановской континууме мала (τ₀≪1). Тогда ионизация атомов водорода будет происходить в основном под действием излучения, приходящего непосредственно от звезды, и величина ε будет равна
ε
=
∞
∫
ν₁ (ℎν-ℎν₁)
ρν⃰
ℎν 𝑘₁ν 𝑑ν
∞
∫
ν₁
ρν⃰
ℎν 𝑘₁ν 𝑑ν
(23.30)
Для водорода, как известно, 𝑘₁ν∼1/ν³. Поэтому, представляя величину ε в виде
ε
=
𝐴
𝑘𝑇
∗
,
(23.31)
где 𝑘 — постоянная Больцмана, для величины 𝐴 получаем
𝐴
=
∞
∫
𝑥₀
𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
∞
∫
𝑥₀
𝑑𝑥
𝑥(𝑒𝑥-1)
-
𝑥₀
,
(23.32)
где 𝑥₀=ℎν₁/𝑘𝑇∗.
Во втором случае примем, что оптическая толщина туманности за границей серии Лаймана велика (τ₀≫1). В этом случае ионизация вызывается как излучением, идущим непосредственно от звезды, так и диффузным излучением самой туманности. Однако при больших значениях τ₀ можно считать, что все кванты, испускаемые при захватах электронов на первый уровень, поглощаются в туманности, т.е. число ионизаций, происходящих под влиянием диффузного излучения, равно 𝐶₁∫𝑛𝑒𝑛⁺𝑑𝑉, а энергия, которую электроны получают при этом, равна 𝐶₁ε₁∫𝑛𝑒𝑛⁺𝑑𝑉. Поэтому и в данном случае диффузного излучения туманности можно не учитывать. Надо только в уравнении (23.28) суммировать величины 𝐶𝑖, и 𝐶𝑖ε𝑖, не от 1, а от 2. Для величины 𝐴 теперь находим
𝐴
=
∞
∫
𝑥₀
𝑥³ 𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
∞
∫
𝑥₀
𝑥² 𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
-
𝑥₀
.
(23.33)
Значения величины 𝐴, вычисленные по формулам (23.32) и (23.33), приведены в табл. 29.
Таблица 29
Значения величины 𝐴
𝑇
∗
/1 000
I
II
𝐴
𝐴𝑇
∗
/1 000
𝐴
𝐴𝑇
∗
/1 000
20
0,90
18
1,24
25
40
0,83
33
1,46
58
60
0,77
46
1,63
98
80
0,71
57
1,76
141
Из этой таблицы видно, что в принятом интервале звёздных температур энергия ε во втором случае приблизительно в два раза больше, чем в первом. А так как число захватов на первый уровень составляет около половины общего числа захватов, то уравнение (23.28) в обоих случаях должно давать близкие между собой результаты.
Принимая второй из рассмотренных случаев (хотя он далеко не всегда осуществляется в действительности), в дополнение к равенству (23.31) положим
∞
∑
2
𝐶
𝑖
ε
𝑖
+
𝑓
=
𝐵
𝑇
𝑒
𝑘
∞
∑
2
𝐶
𝑖
,
(23.34)