Вычисление степени возбуждения атомов в туманностях не представляет больших трудностей. В условиях туманностей вероятности переходов из возбуждённых состояний под действием излучения и столкновений оказываются гораздо меньше вероятностей спонтанных переходов (за исключением переходов с очень высоких уровней). Поэтому после фотоионизаций и рекомбинаций атомы совершают лишь «каскадные» переходы с уровня на уровень (т.е. цепь спонтанных переходов от возбуждённого состояния до первого). Образующиеся при таких переходах кванты в линиях субординатных серий беспрепятственно уходят из туманности. Вследствие этого после определения населённостей уровней могут быть легко вычислены и интенсивности эмиссионных линий.
Для определения числа атомов в разных состояниях мы должны составить уравнения стационарности, выражающие собой тот факт, что число переходов в данное состояние равно числу переходов из этого состояния.
Число переходов в 𝑖-е состояние, совершающихся в 1 см³ за 1 с, равно
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
+
∞
∑
𝑘=𝑖+1
𝑛
𝑘
𝐴
𝑘𝑖
+
𝑛₁
𝐵₁
𝑖
ρ₁
𝑖
.
Здесь первый член представляет собой число захватов непосредственно на 𝑖-й уровень, второй — число спонтанных переходов из выше лежащих дискретных состояний, третий — число переходов из первого состояния под действием излучения в лаймановской линии.
Из 𝑖-го состояния происходят практически только спонтанные переходы вниз. Число таких переходов в 1 см³ за 1 с равно
𝑛
𝑖
𝑖-1
∑
𝑘=1
𝐴
𝑖𝑘
.
Приравнивая два последних выражения, получаем
𝑛
𝑖
𝑖-1
∑
𝑘=1
𝐴
𝑖𝑘
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
+
∞
∑
𝑘=𝑖+1
𝑛
𝑘
𝐴
𝑘𝑖
+
𝑛₁
𝐵₁
𝑖
ρ₁
𝑖
(𝑖=2, 3, 4, …).
(24.1)
Величина ρ₁𝑖, представляющая собой плотность излучения в лаймановской линии, нам заранее не известна. Рассмотрим поэтому два предельных случая уравнений (24.1).
В случае А будем предполагать, что оптическая толщина туманности в лаймановских линиях очень мала по сравнению с 1. Тогда будет малой и плотность излучения ρ₁𝑖. Поэтому, пренебрегая последним членом в каждом из уравнений (24.1), находим
𝑛
𝑖
𝑖-1
∑
𝑘=1
𝐴
𝑖𝑘
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
+
∞
∑
𝑘=𝑖+1
𝑛
𝑘
𝐴
𝑘𝑖
(𝑖=2, 3, 4, …).
(24.2)
В случае В (который для наблюдаемых туманностей гораздо ближе к действительности, чем предыдущий случай) оптическая толщина туманности в лаймановских линиях считается очень большой. В этом случае почти все кванты, излучаемые при переходе 𝑖→1, поглощаются при обратном переходе, т.е. 𝑛𝑖𝐴𝑖₁. Следовательно, вместо системы уравнений (24.1) имеем
𝑛
𝑖
𝑖-1
∑
𝑘=2
𝐴
𝑖𝑘
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
+
∞
∑
𝑘=𝑖+1
𝑛
𝑘
𝐴
𝑘𝑖
(𝑖=3, 4, 5, …).
(24.3)
Таким образом, в обоих случаях мы пришли к системе линейных алгебраических уравнений относительно чисел 𝑧𝑖=𝑛𝑖/𝑛𝑒𝑛⁺.
Система уравнений (24.3) для водорода была приближённо решена Силлье, который использовал 12 первых уравнений (𝑖=3, 4, …, 14) и отбросил остальные. Коэффициент рекомбинации 𝐶𝑖(𝑇𝑒) находился при этом по формуле (23.7).
Позднее Мензел и Бэкер [5] рассмотрели системы уравнений (24.2) и (24.3), взяв более точное выражение для коэффициента рекомбинации (с гаунтовским множителем, отличным от единицы) и приняв во внимание более высокие уровни. В их таблицах приведены значения величины 𝑏𝑖 определённой соотношением
𝑛
𝑖
=
𝑏
𝑖
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑖²ℎ³
(2π𝑚𝑘𝑇𝑒)³/²
exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
,
(24.4)
т.е. показывающей, во сколько раз значение 𝑛𝑖/𝑛𝑒𝑛⁺ в туманностях отличается от значения 𝑛𝑖/𝑛𝑒𝑛⁺ в состоянии термодинамического равновесия с температурой 𝑇𝑒.
Ситон получил более точные решения систем уравнений (24.2) и (24.3). Искомая величина 𝑧𝑖 была при этом представлена в виде
𝑧
𝑖
=
𝐶
𝑖
+
∞
∑
𝑘=𝑖+1
𝑄
𝑘𝑖
𝐶
𝑘
,
𝑖-1
∑
𝑘=𝑘₀
𝐴
𝑖𝑘
(24.5)
где 𝑘₀=1 в случае А и 𝑘₀=2 в случае В, а величины 𝑄𝑘𝑖 (зависящие только от эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов и от значения 𝑘₀) составляют элементы «каскадной матрицы». Очевидно, что величина 𝑄𝑘𝑖 определяет вероятность попадания атома на уровень 𝑖 с уровня 𝑘 любым путём. Вычисленные Ситоном значения величины 𝑏𝑖exp(χ𝑖/(𝑘𝑇𝑒)) приведены в табл. 32.
Таблица 32
Значения величины 𝑏𝑖 exp
⎛
⎜
⎝
χ𝑖
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝑖
𝑇
𝑒
, K
Случай А
Случай B
10 000
20 000
10 000
20 000
2
0,193
0,315
-
-
3
0,213
0,332
0,668
1,013
4
0,244
0,364
0,540
0,792
5
0,273
0,394
0,519
0,739
6
0,299
0,421
0,520
0,725
7
0,322
0,443
0,529
0,722
8
0,341
0,463
0,540
0,725
9
0,360
0,480
0,552
0,730
10
0,376