Рассмотрим сначала поле излучения в лаймановской континууме. При поглощении L𝑐-квантов, приходящих от звезды в туманность, происходит ионизация водородных атомов, а при последующих рекомбинациях на первый уровень L𝑐-кванты излучаются. Такие процессы поглощения и излучения L𝑐-квантов могут продолжаться и дальше. Следовательно, в туманности происходит диффузия L𝑐-излучения. При этом вероятность «выживания» кванта при элементарном акте рассеяния равна отношению числа рекомбинаций на первый уровень к числу рекомбинаций на все уровни.
Чтобы определить плотность диффузного L𝑐-излучения, мы должны написать уравнение переноса излучения и уравнение лучистого равновесия. В данном случае уравнение лучистого равновесия должно выражать собой тот факт, что в каждом элементарном объёме туманности число ионизаций равно числу рекомбинаций. Следовательно, мы имеем
𝑛
𝑒
𝑛⁺
=
∞
∑
1
𝐶
𝑖
=
𝑛₁
∞
∫
ν₁
𝑘₁
ν
𝑑ν
ℎν
∫
(
𝐼
ν
+
𝐼
ν
⁰
)
𝑑ω
,
(27.1)
где 𝐼ν — интенсивность диффузного излучения и 𝐼ν⁰ — интенсивность излучения, приходящего в данное место туманности непосредственно от звезды. Ранее (в § 23) мы писали подобное уравнение без учёта диффузного излучения.
Обозначим через 𝑝 долю рекомбинаций на первый уровень. Кроме того, примем во внимание, что для водорода коэффициент поглощения на основании формулы (5.6) меняется с частотой по закону
𝑘₁
ν
=
𝑘₁
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
.
(27.2)
Тогда вместо уравнения (27.1) получаем
𝑛𝑒𝑛⁺𝐶₁
𝑛₁𝑘₁ν₁
=
𝑝
∞
∫
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝑑ν
ℎν
∫
(
𝐼
ν
+
𝐼
ν
⁰
)
𝑑ω
.
(27.3)
В случае туманности, состоящей из плоскопараллельных слоёв, уравнение переноса излучения имеет вид
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
𝑛₁𝑘₁
ν
𝐼
ν
+
ε₁
ν
,
(27.4)
где ε₁ν — объёмный коэффициент излучения при рекомбинациях на первый уровень. Как следует из формулы (26.2), величина ε₁ν может быть представлена в виде
ε₁
ν
=
ε₁
ν₁
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎ(ν-ν₁)
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(27.5)
Пусть τ — оптическое расстояние какого-либо места в туманности от её внутренней границы в частоте ν₁ т.е.
τ
=
𝑟
∫
𝑟₁
𝑛₁
𝑘₁
ν₁
𝑑𝑟
.
(27.6)
При помощи формул (27.2), (27.5) и (27.6) вместо уравнения (27.4) находим
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑τ
=-
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝐼
ν
+
ε₁ν₁
𝑛₁𝑘₁ν₁
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎ(ν-ν₁)
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(27.7)
Очевидно, что величины 𝐶₁ и ε₁ν₁ должны быть связаны между собой. Подстановка (27.5) в (26.3) даёт
𝑛
𝑒
𝑛⁺𝐶₁
=
4π
ε₁ν₁
ℎ
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ₁
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
χ₁
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(27.8)
Введём обозначение
𝑆
𝑐
(τ)
=
𝑛𝑒𝑛⁺𝐶₁
4π𝑛₁𝑘₁ν₁
.
(27.9)
Тогда уравнения (27.7) и (27.3) принимают вид
cos θ
𝑑𝐼
ν
=-
⎛
⎜
⎝
ν₁
⎞
⎟
⎠
𝐼
ν
+
ℎ
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
⎞
⎟
⎠
𝑆
𝑐
(τ)
𝑑τ
ν
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ₁
⎞
⎟
⎠
𝑘𝑇
𝑒
𝑘𝑇
𝑒
(27.10)
и
𝑆
𝑐
(τ)
=
𝑝
∞
∫
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝑑ν
ℎν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
𝑆
𝑐
⁰(τ)
,
(27.11)
где
𝑆
𝑐
⁰(τ)
=
𝑝
∞
∫
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝑑ν
ℎν
∫
𝐼
ν
⁰
𝑑ω
4π
(27.12)
Интенсивность излучения, приходящего от звезды в данное место туманности, очевидно, равна
𝐼
ν
⁰
=
𝐼
ν
⃰
exp
⎡
⎢
⎣
-τ
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(27.13)
где 𝐼ν⃰ — интенсивность излучения, выходящего из атмосферы звезды. Поэтому находим
𝑆
𝑐
⁰(τ)
=
𝑝𝑊
∞
∫
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝐼
ν