Границы упомянутой области находятся от поверхности (28.1) по лучу зрения (т.е. по оси 𝑧) на расстоянии, соответствующем изменению частоты на величину Δν𝑖𝑘/2. Обозначая граничные значения 𝑧 через 𝑧₁ и 𝑧₂ и пользуясь малостью 𝑢 по сравнению с 𝑣, получаем
Δ
ν
𝑖𝑘
=
ν𝑖𝑘
𝑐
⎪
⎪
⎪
∂𝑣𝑧
∂𝑧
⎪
⎪
⎪
(𝑧₂-𝑧₁)
,
(28.2)
или
𝑧₂-𝑧₁
=
2𝑢
|∂𝑣𝑧 /∂𝑧|
.
(28.3)
Пусть 𝐼𝑖𝑘(𝑥,𝑦,ν) — интенсивность излучения, идущего от точки диска звезды с координатами 𝑥,𝑦 в частоте ν внутри линии. Так как «толщина» слоя, дающего излучение в частоте ν (т.е. разность 𝑧₂-𝑧₁), сравнительно невелика (за исключением отдельных мест), то величины α𝑖𝑘 и ε𝑖𝑘 можно считать постоянными в этом слое вдоль оси 𝑧 и равными их значениям на поверхности (28.1). Поэтому для интенсивности 𝐼𝑖𝑘(𝑥,𝑦,ν) имеем
𝐼
𝑖𝑘
(𝑥,𝑦,ν)
=
ε𝑖𝑘
α𝑖𝑘
⎡
⎣
1
-
exp
⎛
⎝
-
α
𝑖𝑘
(𝑧₂-𝑧₁)
⎞
⎠
⎤
⎦
.
(28.4)
Полная энергия, излучаемая оболочкой в частоте ν в единице телесного угла, даётся формулой
𝐸
𝑖𝑘
(ν)
=
∬
𝐼
𝑖𝑘
(𝑥,𝑦,ν)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
(28.5)
Пользуясь (28.3) и (28.4), вместо (28.5) находим
𝐸
𝑖𝑘
(ν)
=
∬
ε𝑖𝑘
α𝑖𝑘
⎡
⎢
⎣
1
-
exp
⎛
⎜
⎝
-
2𝑢
|∂𝑣𝑧 /∂𝑧|
α
𝑖𝑘
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
(28.6)
Интегрирование здесь производится по поверхности (28.1). Формула (28.6) и определяет искомый профиль эмиссионной линии.
Приближённо оболочка может быть разбита на две области: непрозрачную для излучения в рассматриваемой линии и прозрачную для этого излучения. В первой области величина (2𝑢/|∂𝑣𝑧 /∂𝑧|)α𝑖𝑘 превосходит единицу, во второй она меньше единицы. Интеграл (28.6) в первой области равен
𝐸
'
𝑖𝑘
=
∬
ε𝑖𝑘
α𝑖𝑘
𝑑𝑥
𝑑𝑦
,
(28.7)
а во второй
𝐸
''
𝑖𝑘
=
∬
ε
𝑖𝑘
2𝑢
|∂𝑣𝑧 /∂𝑧|
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
(28.8)
Входящие в приведённые формулы величины α𝑖𝑘 и ε𝑖𝑘 следующим образом выражаются через концентрацию поглощающих атомов 𝑛𝑖 концентрацию излучающих атомов 𝑛𝑘:
ε
𝑖𝑘
=
𝑛𝑘𝐴𝑘𝑖ℎν𝑖𝑘
4πΔν𝑖𝑘
,
(28.9)
α
𝑖𝑘
=
𝑛𝑖𝐵𝑖𝑘ℎν𝑖𝑘
Δν𝑖𝑘𝑐
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑔𝑖
𝑔𝑘
𝑛𝑖
𝑛𝑘
⎞
⎟
⎠
,
(28.10)
где 𝐴𝑖𝑘 и 𝐵𝑖𝑘 —эйнштейновские коэффициенты переходов. Учитывая связь между 𝐴𝑖𝑘 и 𝐵𝑖𝑘, получаем
ε
𝑖𝑘
=
2ℎν
𝑖𝑘
³
1
.
α
𝑖𝑘
𝑐²
𝑔
𝑘
𝑛
𝑖
-
1
𝑔
𝑖
𝑛
𝑘
(28.11)
Соотношение (28.11), как это и должно быть, переходит в формулу Планка, когда 𝑛𝑘/𝑛𝑖 определяется формулой Больцмана.
Таким образом, для вычисления профиля эмиссионной линии необходимо знать как распределение скоростей в оболочке, так и распределение поглощающих и излучающих атомов. Ниже будет показано, как могут быть найдены величины 𝑛𝑖 и 𝑛𝑘. Тем самым задача о вычислении профилей эмиссионных линий будет решена до конца.
В качестве примера применения формул (28.7) и (28.8) найдём профили эмиссионных линий, образованных оболочкой, расширяющейся с постоянной для всех слоёв скоростью (𝑣=const). Обозначим через 𝑟 расстояние данного объёма от центра звезды и через θ — угол между направлением движения атомов и направлением на наблюдателя. Тогда будем иметь
𝑣
𝑧
=
𝑣
cos θ
,
∂𝑣𝑧
∂𝑧
=
𝑣
𝑟
sin²θ
,
(28.12)
а поверхность равных лучевых скоростей, соответствующая частоте ν, будет определяться уравнением
ν
=
ν
𝑖𝑘
+
ν𝑖𝑘
𝑐
𝑣
cos θ
.
(28.13)
Допустим сначала, что оболочка прозрачна для излучения в линии. Тогда из формулы (28.8), учитывая, что 𝑑𝑥 𝑑𝑦=2π sin²θ𝑟 𝑑𝑟, получаем
𝐸
''
𝑖𝑘
=
4π
𝑢
𝑣
∫
ε
𝑖𝑘
𝑟²
𝑑𝑟
.
(28.14)
Таким образом, прозрачная оболочка даёт эмиссионную линию с прямоугольным профилем (т.е. интенсивность внутри линии постоянна). Очевидно, что ширина линии соответствует удвоенной скорости расширения оболочки.
Если оболочка непрозрачна для излучения в линии, то из формулы (28.7) в рассматриваемом случае находим
𝐸
'
𝑖𝑘
=
2π
sin²θ
∫
ε𝑖𝑘
α𝑖𝑘
𝑟
𝑑𝑟
.
(28.15)
или, принимая во внимание (28.13),
𝐸
'
𝑖𝑘
=
2π
⎡
⎢
⎣
1
-
⎛
⎜
⎝
ν-ν𝑖𝑘
ν𝑖𝑘
𝑐
𝑣
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
∫
ε𝑖𝑘
α𝑖𝑘
𝑟
𝑑𝑟
.
(28.16)
Следовательно, непрозрачная оболочка даёт эмиссионную линию с параболическим профилем.
Аналогично могут быть определены профили эмиссионных линий, образованные оболочкой, в которой скорость расширения 𝑣 зависит от 𝑟. Как легко понять, для прозрачной оболочки в этом случае профили линий будут симметричными с интенсивностью, убывающей при удалении от центра линии (так как они получаются наложением друг на друга прямоугольных профилей с различными ширинами). Такие профили очень похожи на профили линий, образованных непрозрачной оболочкой при 𝑣=const. Поэтому прежде чем по профилям линий делать заключения о распределении скоростей в оболочке, необходимо выяснить, прозрачна или непрозрачна оболочка для излучения в линиях.