Займёмся теоретической интерпретацией свечения оболочки Новой Геркулеса после апрельского минимума блеска. Для простоты рассмотрим водородную оболочку постоянной плотности. Допустим, что оболочка обладает сферической симметрией, причём её толщина значительно меньше её расстояния от звезды (𝑟₂-𝑟₁≪𝑟₁).
Пусть 𝑛₁(𝑟,𝑡) и 𝑛⁺(𝑟,𝑡) — соответственно число нейтральных и ионизованных атомов в 1 см³ на расстоянии 𝑟 от звезды в момент 𝑡, а 𝑛 — общее число атомов водорода в 1 см³, так что
𝑛₁(𝑟,𝑡)
+
𝑛⁺(𝑟,𝑡)
=
𝑛
.
(29.15)
В начальный момент времени, за который мы примем момент внезапного увеличения температуры звезды, все атомы оболочки не ионизованы, т.е. 𝑛₁(𝑟,0)=𝑛 и 𝑛⁺(𝑟,0)=0.
В дальнейшем происходит ионизация атомов при поглощении квантов, излучаемых звездой за границей лаймановской серии. Число таких квантов, падающих на 1 см² внутренней границы оболочки за 1 с, обозначим через 𝐻. Если обозначить через 𝑘 коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом, то общее число ионизаций, происходящих за 1 с в 1 см³ на расстоянии 𝑟 от звезды в момент 𝑡, будет равно
𝑛₁(𝑟,𝑡)
𝑘𝐻
𝑒
-τ(𝑟,𝑡)
,
где τ(𝑟,𝑡) — оптическое расстояние данного места от внутренней границы оболочки, т.е.
τ(𝑟,𝑡)
=
𝑟
∫
𝑟₁
𝑛₁(𝑟,𝑡)
𝑘
𝑑𝑟
.
(29.16)
Наряду с ионизацией в оболочке идут также обратные процессы, т.е. рекомбинации. Число рекомбинаций на 𝑖-й уровень, происходящих за 1 с в 1 см³ на расстоянии 𝑟 от звезды в момент 𝑡, равно
𝑛
𝑒
(𝑟,𝑡)
𝑛⁺(𝑟,𝑡)
𝐶
𝑖
𝐶(𝑇
𝑒
)
,
где 𝑛𝑒(𝑟,𝑡) — число свободных электронов в 1 см³.
В каждом месте оболочки изменение числа ионов равно разности между числом ионизаций и числом рекомбинаций. Поэтому мы имеем
∂𝑛⁺
∂𝑡
=
𝑛₁
𝑘𝐻𝑒
-τ
-
𝑛
𝑒
𝑛⁺
∞
∫
𝑖=2
𝐶
𝑖
.
(29.17)
В уравнении (29.17) не учтены рекомбинации на первый уровень и ионизации под действием диффузного излучения оболочки, так как эти процессы компенсируют друг друга.
Таким образом, задача об определении изменения числа ионизованных атомов в оболочке сводится к решению уравнения (29.17) при условиях (29.15) и (29.16). Здесь мы не будем заниматься подробным решением этого уравнения, а приведём лишь некоторые результаты.
Пусть оптическая толщина оболочки за пределом лаймановской серии в начальный момент времени гораздо больше единицы, т.е. τ(𝑟₂,0)≫1. Пусть, далее, излучение звезды настолько сильное, что оно способно создать в оболочке степень ионизации, значительно превосходящую единицу (𝑛⁺/𝑛₁≫1). В таком случае для каждого момента времени оболочка может быть разделена на две области: «ионизованную» (𝑛⁺≫𝑛₁) и «неионизованную» (𝑛⁺≪𝑛₁) с очень резкой границей между ними, и процесс постепенного усиления ионизации в оболочке может рассматриваться как перемещение границы между указанными областями. Приблизительно упомянутая граница находится там, где в данный момент τ≈1. Такой результат вполне понятен, так как до тех пор, пока для рассматриваемого слоя τ≫1, ионизующее излучение звезды до него не доходит. Только тогда, когда благодаря ионизации ближайшей к звезде части оболочки её оптическая толщина становится порядка единицы, начинается ионизация в этом слое.
Указанный результат позволяет легко найти, как меняется с течением времени общее число ионизованных атомов в оболочке, т.е. величина
𝑁⁺
=
∫
𝑛⁺
𝑑𝑉
.
(29.18)
Проинтегрируем обе части уравнения (29.17) по всему объёму оболочки. Обозначая через 𝐻 полное число квантов, излучаемых звездой за границей лаймановской серии в 1 с, получаем
𝑑𝑁⁺
𝑑𝑡
=
𝐻
-
𝑁⁺𝑛
∞
∑
2
𝐶
𝑖
.
(29.19)
Последний член в этом уравнении написан на основании соотношения
∫
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑑𝑉
=
𝑛𝑁⁺
,
(29.20)
которое следует из того, что в ионизованной области 𝑛𝑒≈𝑛 а в неионизованной области 𝑛𝑒≈0.
Решение уравнения (29.19), удовлетворяющее начальному условию 𝑁⁺(0)=0, имеет вид
𝑁⁺(𝑡)
=
𝐻
𝑡
∗
⎛
⎝
1
-
𝑒
-𝑡/𝑡∗
⎞
⎠
,
(29.21)
где
𝑡
∗
𝑛
∞
∑
2
𝐶
𝑖
=
1
.
(29.22)
Величину 𝑡∗, определённую формулой (29.22), можно рассматривать как время установления лучистого равновесия. Как видно, оно тем больше, чем меньше плотность вещества в оболочке.
Чтобы оценить величину 𝑡∗, заметим, что для водорода
∞
∑
2
𝐶
𝑖
≈
3⋅10⁻¹³
(при 𝑇𝑒=10 000 K). Это значит, что когда 𝑛≈10¹⁰ см³ величина 𝑡∗ оказывается порядка нескольких минут. В оболочках новых в первый период после максимума блеска 𝑛>10¹⁰ см³. Поэтому можно считать, что установление лучистого равновесия в данном случае непосредственно следует за изменением физических условий в оболочке. Однако в случае Новой Геркулеса 1934 г. температура звезды внезапно возросла тогда, когда плотность вещества в оболочке была уже весьма малой. Именно поэтому установление лучистого равновесия в оболочке Новой Геркулеса затянулось приблизительно на месяц.
С помощью полученных формул можно найти изменение с течением времени полного количества энергии, излучаемой оболочкой в любой бальмеровской линии. Как мы знаем, количество энергии 𝐸𝑘₂ излучаемой оболочкой при переходе 𝑘→2, даётся формулой (28.30). Пользуясь соотношениями (29.20) и (29.21), вместо (28.30) находим
𝐸
𝑘
₂
=
𝐴
𝑘
₂
ℎν
𝑘
₂
𝑧
𝑘
𝑛
𝐻
𝑡
∗
⎛
⎝
1
-
𝑒
-𝑡/𝑡∗
⎞
⎠
.
(29.23)
Из наблюдений Новой Геркулеса были определены значения величин 𝐸𝑘₂ для ряда бальмеровских линий. Эти величины меняются со временем примерно так же, как блеск звезды (что вполне понятно, так как возрастание блеска и обусловлено в основном возрастанием энергии, излучаемой в линиях). Наблюдаемое изменение величин 𝐸𝑘₂ довольно хорошо представляется формулой (29.23). При этом для концентрации атомов в оболочке надо принять значение 𝑛=3⋅10⁶ см⁻³.