𝑑𝑡
=
𝑎(𝑢-𝑣)
.
(30.31)
Полученные уравнения решаются весьма просто. Подставляя в (30.30) 𝑞=𝑑𝑀/𝑑𝑡 и интегрируя, находим
𝑀(𝑢-𝑣)
=
𝑀₀(𝑢-𝑣₀)
.
(30.32)
Вводя 𝑀 из (30.32) в (30.31), имеем
𝑑
𝑑𝑡
⎛
⎜
⎝
1
𝑢-𝑣
⎞
⎟
⎠
=
𝑎(𝑢-𝑣)
𝑀₀(𝑢-𝑣₀)
.
(30.33)
Интегрирование этого уравнения даёт
𝑣
=
𝑢
-
𝑢-𝑣₀
.
⎛
⎜
⎝
1
+
2𝑎
(𝑢-𝑣₀)
(𝑡-𝑡₀)
⎞
⎟
⎠
½
𝑀₀
(30.34)
Формула (30.34) определяет искомую скорость движения оболочки. Подставляя 𝑣 из (30.34) в (30.32), получаем следующее выражение для массы оболочки в зависимости от 𝑡:
𝑀
=
𝑀₀
⎛
⎜
⎝
1
+
2𝑎
𝑀₀
(𝑢-𝑣₀)
(𝑡-𝑡₀)
⎞½
⎟
⎠
.
(30.35)
Пользуясь формулой (30.35), мы можем определить количество вещества, присоединившегося к оболочке за время 𝑡-𝑡₀, т.е. величину 𝑄=𝑀-𝑀₀. Эта величина при помощи формулы (30.32) может быть также представлена в виде
𝑄
=
𝑀
𝑣-𝑣₀
𝑢-𝑣₀
.
(30.36)
Обратимся теперь к рассмотрению изменений энергии оболочки. Кинетическая энергия вещества, присоединившегося к оболочке за время 𝑡-𝑡₀ равна ½𝑄𝑢². Часть этой энергии идёт на увеличение кинетической энергии оболочки, которая за то же время меняется от значения ½𝑀₀𝑣₀² До значения ½𝑀𝑣². За счёт другой же части происходит возрастание внутренней энергии оболочки, переходящей затем в излучение. Очевидно, что увеличение внутренней энергии оболочки равно
Δ
𝐸
=
1
2
𝑀₀𝑣₀²
+
1
2
𝑄𝑢²
-
1
2
𝑀𝑣²
.
(30.37)
Пользуясь формулами (30.32) и (30.36), получаем
Δ
𝐸
=
1
2
𝑀
(𝑢-𝑣₀)
(𝑣-𝑣₀)
.
(30.38)
Эта формула и определяет искомую энергию, излучаемую оболочкой в результате столкновений с выбрасываемым из звезды веществом.
Для вычисления по приведённым формулам изменений скорости, массы и внутренней энергии оболочки надо иметь данные о скорости истечения вещества из звезды 𝑢 и мощности истечения 𝑎𝑢 Очевидно, что до момента максимума блеска таких данных у нас нет. После этого момента становится наблюдаемым диффузно-искровой спектр и по смещениям линий этого спектра определяется скорость 𝑢. Вместе с тем после максимума блеска наблюдается увеличение смещений абсорбционных линий главного спектра, которое может быть истолковано как возрастание скорости движения оболочки под воздействием вещества, выбрасываемого из звезды. Наблюдения позволяют найти скорость 𝑣₀ в момент 𝑡₀, за который можно принять момент максимума блеска, и скорость 𝑣 в некоторый момент 𝑡. Масса оболочки может быть определена одним из способов, указанных в предыдущем параграфе. Все это даёт возможность вычислить по формулам (30.36) и (30.38) количество вещества, выбрасываемого звездой, и количество кинетической энергии, переходящей в излучение, за некоторое время после максимума блеска. Эти результаты можно экстраполировать и на период до максимума блеска. При этом получается, что энергия Δ𝐸 должна играть существенную роль в свечении новой в указанный период.
4. Движение оболочки в межзвёздной среде.
При расширении оболочки новой её масса возрастает не только за счёт вещества, выбрасываемого из звезды и догоняющего оболочку, но и за счёт межзвёздного вещества, захватываемого оболочкой. Так как плотность межзвёздной среды очень мала, то её влияние на движение оболочки сказывается лишь на поздней стадии развития оболочки. Сейчас мы остановимся на этой стадии, причём уже не будем учитывать поступление вещества из звезды в оболочку.
Допустим, что новая вспыхнула в однородной среде с плотностью ρ. Если в момент вспышки масса оболочки равна 𝑀₀, то на расстоянии 𝑟 от звезды она станет равной
4
3
π𝑟³ρ
+
𝑀₀
.
На основании закона сохранения количества движения имеем
⎛
⎜
⎝
4
3
π𝑟³ρ
+
𝑀₀
⎞
⎟
⎠
𝑣
=
𝑀₀𝑣₀
,
(30.39)
где 𝑣₀ — скорость оболочки в начальный момент и 𝑣 оболочки на расстоянии 𝑟 от звезды.
Подставляя в уравнение (30.39) 𝑑𝑟/𝑑𝑡 вместо 𝑣 и интегрируя, получаем
1
3
π𝑟⁴ρ
+
𝑀₀𝑟
=
𝑀₀𝑣₀𝑡
,
(30.40)
где 𝑡 — время, протекшее от начала вспышки. Соотношение (30.40) определяет радиус оболочки 𝑟 в зависимости от времени 𝑡.
Чтобы найти, как меняется скорость расширения оболочки с течением времени, надо воспользоваться формулами (30.39) и (30.40). Найдём, например, промежуток времени, в течение которого скорость уменьшится вдвое. Из (30.39) видно, что 𝑣 будет равно ½𝑣₀, когда
4
3
π𝑟³ρ
=
𝑀₀
.
(30.41)
Подставляя (30.41) в (30.40), для искомого промежутка времени получаем
𝑡
=
5
4𝑣₀
⎛
⎜
⎝
3𝑀₀
4πρ
⎞¹/₃
⎟
⎠
(30.42)
В таблице 48 даны промежутки времени, в течение которых скорость оболочки уменьшается соответственно в два и сто раз, а также радиусы оболочки в моменты достижения указанных скоростей. Для плотности межзвёздной среды принято её среднее значение ρ=3⋅10⁻²⁴ г/см³, а для начальной скорости оболочки 𝑣₀=1000 км/с. Таблица составлена для трёх значений массы оболочки: 10⁻⁵, 10⁻⁴ и 10 масс Солнца.
Таблица 48
Торможение оболочек под действием
сопротивления межзвёздной среды
𝑀₀/𝑀
☉
10⁻⁵
10⁻⁴
10
𝑣/𝑣₀
0,5
0,01
0,5
0,01
0,5
0,01
𝑡
в годах
48
4500
102
9800
48000
45 000
𝑡
в парсеках
0,04
0,18
0,08
0,38
3,8
17,6
Оорт, впервые занимавшийся рассматриваемой задачей, произвёл также сравнение теории с наблюдениями. Из таблицы видно, что торможение оболочек новых должно стать заметным через несколько десятилетий. Однако, вообще говоря, это не наблюдается. Например, оболочка Новой Орла 1918 г. расширялась без замедления 30 лет. По-видимому, отсутствие заметного торможения в данном случае объясняется сравнительно большой массой оболочки (равной 10⁻⁴ 𝑀☉). Другое возможное объяснение состоит в том, что за промежуток времени между вспышками новая не успевает покинуть область, из которой межзвёздное вещество было изгнано предыдущей вспышкой.