ε
ν
=
σ
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(9.3)
Очевидно, что применимость соотношения (9.3) нуждается в большем обосновании, чем применимость соотношения (9.2), так как линии возникают в среднем в более поверхностных слоях звёзд, чем непрерывный спектр.
При помощи (9.2) и (9.3) вместо уравнения (9.1) находим
cosθ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
(σ
ν
+α
ν
)
(𝐼
ν
-𝐵
ν
)
.
(9.4)
Пусть 𝑡ν — оптическая глубина в атмосфере в частоте ν внутри линии, т.е.
𝑡
ν
=
∞
∫
0
(σ
ν
+α
ν
)
𝑑𝑟
.
(9.5)
Тогда уравнение (9.4) принимает вид
cosθ
𝑑𝐼ν(𝑡ν,θ)
𝑑𝑡ν
=
𝐼
ν
(𝑡
ν
,θ)
-
𝐵
ν
(𝑇)
.
(9.6)
Наибольший интерес для нас представляет интенсивность излучения в линии, выходящего из атмосферы. Для этой величины из уравнения (9.6) получаем
𝐼
ν
(0,θ)
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
exp
⎛
⎝
-𝑡
ν
sec θ
⎞
⎠
sec θ
𝑑𝑡
ν
.
(9.7)
Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре вблизи линии, мы обозначим через 𝐼ν⁰(0,θ). Эта величина равна
𝐼
ν
⁰(0,θ)
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
exp
⎛
⎝
-τ
ν
sec θ
⎞
⎠
sec θ
𝑑τ
ν
,
(9.8)
где τν — оптическая глубина в атмосфере в непрерывном спектре вблизи линии, т.е.
τ
ν
=
∞
∫
𝑟
α
ν
𝑑𝑟
.
(9.9)
Отношение
𝑟
ν
(θ)
=
𝐼ν(0,θ)
𝐼ν⁰(0,θ)
(9.10)
характеризует профиль линии поглощения на угловом расстоянии θ от центра диска звезды. Очевидно, что величина 𝑟ν(θ) может быть найдена из наблюдений только для Солнца (и в принципе — для затменных переменных). Для обычных же звёзд из наблюдений определяется лишь профиль линии поглощения в спектре всего диска. Этот профиль характеризуется отношением
𝑟
ν
=
𝐻ν
𝐻ν⁰
,
(9.11)
где 𝐻ν — поток излучения, выходящего из звезды в частоте ν внутри линии, и 𝐻ν⁰ — поток излучения, выходящего из звезды в непрерывном спектре вблизи линии. Величина 𝐻ν определяется формулой
𝐻
ν
=
2π
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
𝑑𝑡
ν
,
(9.12)
где 𝐸₂𝑡ν — вторая интегральная показательная функция. Аналогичной формулой (с заменой 𝑡ν на τν) определяется и величина 𝐻ν⁰ (см. §4).
Рис. 11
Если известна величина 𝑟ν, то легко может быть найдена и так называемая эквивалентная ширина линии поглощения. Под ней понимается ширина соседнего участка непрерывного спектра, энергия которого равна энергии, поглощённой в линии (рис. 11). Обозначая эквивалентную ширину линии через 𝑊, на основании определения имеем
𝐻
ν
⁰
𝑊
=
∫
(
𝐻
ν
⁰
-
𝐻
ν
)
𝑑ν
,
(9.13)
или, при использовании (9.11),
𝑊
=
∫
(1-𝑟
ν
)
𝑑ν
.
(9.14)
Приведёнными формулами, определяющими профили и эквивалентные ширины линий, мы будем часто пользоваться ниже.
2. Определение профилей линий.
Для вычисления профилей линий поглощения мы должны знать зависимость между температурой 𝑇 и оптической глубиной 𝑡ν. Точная зависимость между этими величинами может быть найдена только на основе расчёта моделей звёздных фотосфер. Однако некоторый интерес представляет и приближённая зависимость между 𝑇 и 𝑡ν, которой мы сейчас воспользуемся.
Из формул (6.1) и (6.5) вытекает следующая приближённая формула, связывающая между собой температуру 𝑇 и оптическую глубину τν в непрерывном спектре:
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎛
⎜
⎝
1
+
β
ν
α
αν
τ
ν
⎞
⎟
⎠
.
(9.15)
При получении этой формулы предполагалось, что отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре αν к среднему коэффициенту поглощения α не зависит от глубины. Теперь мы допустим, что и отношение коэффициента поглощения в линии к коэффициенту поглощения в непрерывном спектре, т.е. величина σν/αν, также не зависит от глубины. Тогда на основании формул (9.5) и (9.9) имеем
𝑡
ν
=
⎛
⎜
⎝
σν
αν
+
1
⎞
⎟
⎠
τ
ν
.
(9.16)
Подстановка (9.16) в (9.15) даёт
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎛
⎜
⎝
1
+
β
ν
α
σν+αν
τ
ν
⎞
⎟
⎠
.
(9.17)
Для нахождения величины 𝑟ν(θ), определённой формулой (9.10), мы должны подставить (9.17) в (9.7) и (9.15) в (9.8). Делая это, получаем
𝑟
ν
(θ)
=
1 + βν
α
σν+αν cos θ
1 + βν
α
σν cos θ
.
(9.18)
Формулой (9.18) определяется профиль линии на угловом расстоянии θ от центра диска. Аналогично получается выражение для величины 𝑟ν, характеризующей профиль линии в спектре всей звезды:
𝑟
ν
=
1 +
2
3 βν
α
σν+αν