∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
𝑑τ
ν
=
∞
∫
1
𝑑𝑧
𝑧²
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝑒
-𝑡
ν
𝑧
𝑑τ
ν
=
-
∞
∫
1
𝑑𝑧
𝑧²
∞
∫
0
𝑒
-(𝑡ν-τν)𝑧
𝑑τ
ν
𝑑
𝑑τν
∞
∫
τν
𝐵
ν
(𝑇')
𝑒
-τ'ν𝑧
𝑑τ'
ν
=
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
τ
ν
𝑑τ
ν
-
∞
∫
0
σν
αν
𝑑τ
ν
∞
∫
τν
𝐵
ν
(𝑇')
𝐸₁
τ'
ν
𝑑τ'
ν
(9.25)
(здесь использовано интегрирование по частям). Во втором же слагаемом при σν≪αν можно просто заменить 𝑡ν на τν. Поэтому вместо соотношения (9.24) получаем
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
𝑡
ν
𝑑𝑡
ν
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
τ
ν
𝑑τ
ν
-
-
∞
∫
0
σν
αν
𝑑τ
ν
⎡
⎢
⎣
∞
∫
τν
𝐵
ν
(𝑇')
𝐸₁
τ'
ν
𝑑τ'
ν
-
𝐵
ν
(𝑇)
𝐸₂
τ
ν
⎤
⎥
⎦
.
(9.26)
Подстановка (9.26) в (9.23) даёт
1-𝑟
ν
=
∞
∫
0
σν
αν
𝐺(τ
ν
)
𝑑τ
ν
,
(9.27)
где обозначено
𝐺(τ
ν
)
=
∞
∫
τν 𝐵ν(𝑇) 𝐸₁ τν 𝑑τν - 𝐵ν(𝑇) 𝐸₂ τν
∞
∫
0 𝐵ν(𝑇) 𝐸₂ τν 𝑑τν
.
(9.28)
Формулу (9.28) можно переписать также в виде
𝐺(τ
ν
)
=
∞
∫
τν
𝑑𝐵ν(𝑇)
𝑑τν 𝐸₂ τν 𝑑τν
∞
∫
0 𝐵ν(𝑇) 𝐸₂ τν 𝑑τν
.
(9.29)
Таким образом, для искомой величины 𝑟ν мы получили формулу (9.27), в которой функция 𝐺(τν) даётся формулой (9.29). Легко видеть, что в случае, когда для 𝐵ν(𝑇) принимается выражение (9.15) и величина σν/αν считается постоянной в атмосфере, формула (9.27) переходит в приведённую выше формулу (9.20).
В формуле (9.27) функция 𝐺(τν) представляет собой весовую функцию при величине σν/αν. Удобство вычислений по этой формуле обусловлено тем, что весовая функция зависит только от величин, характеризующих непрерывный спектр (но не линии), и слабо зависит от частоты. Поэтому для данной атмосферы весовую функцию можно заранее табулировать и затем вычислять профили различных линий по формуле (9.27).
Вопрос о вычислении величины 𝑟ν для слабых линий и для крыльев сильных линий был впервые рассмотрен Унзольдом (см. [5]). Предложенный им «метод весовых функций» мы изложили выше для случая, когда делается предположение о локальном термодинамическом равновесии. Однако этот метод с различными видоизменениями применяется также и в других случаях.
4. Отклонения от термодинамического равновесия.
Сделанное нами предположение о локальном термодинамическом равновесии сильно упрощает теорию звёздных спектров. Однако возникает важный вопрос о том, в какой мере справедливо это предположение.
Обратимся прежде всего к сравнению теории с наблюдениями. Из формулы (9.7) следует, что при переходе от центра диска к краю интенсивность внутри линии должна стремиться к интенсивности непрерывного спектра на краю диска, т.е. должно быть
𝐼
ν
(0,θ)
→
𝐵
ν
(𝑇₀)
при
θ
→
π
2
.
(9.30)
Иными словами, линии поглощения на краю диска должны исчезать. Особенно ясно это видно из формулы (9.18), из которой следует, что 𝑟ν(θ)→1 при θ→π/2.
Однако наблюдательные данные об изменении профилей линий на диске Солнца показывают, что исчезновения линий на краю диска в действительности не происходит.
Легко понять, чем вызывается это расхождение между теорией и наблюдениями. В глубоких слоях атмосферы возбуждение атомов происходит в основном под действием столкновений. При этом благодаря максвелловскому распределению частиц по скоростям устанавливается больцмановское распределение атомов по возбуждённым уровням. В свою очередь это приводит к тому, что отношение коэффициента излучения εν к коэффициенту поглощения σν будет равняться планковской интенсивности при температуре, равной кинетической температуре газа. Таким образом, в глубоких слоях атмосферы можно предполагать наличие локального термодинамического равновесия. Однако при переходе к менее глубоким слоям роль столкновений в возбуждении атомов уменьшается, а в самых верхних слоях возбуждение вызывается в основном излучением. Вследствие же того, что плотность этого излучения сильно отличается от планковской плотности, распределение атомов по состояниям уже не будет определяться формулой Больцмана. Поэтому не будет соблюдаться и закон Кирхгофа — Планка.
Таким образом, в верхних слоях атмосферы должны существовать значительные отклонения от локального термодинамического равновесия. Этим и объясняется тот факт, что профили линий, вычисленные при предположении о наличии локального термодинамического равновесия, не согласуются с наблюдаемыми профилями линий.
Из сказанного следует, что при решении задачи об образовании линий поглощения в звёздных спектрах коэффициент излучения в линии εν нельзя задавать формулой (9.3), а его следует определять в ходе решения самой задачи. Точнее говоря, нахождение профилей линий поглощения должно основываться на рассмотрении переноса излучения в спектральных линиях. Таким рассмотрением мы займёмся в следующих параграфах. Пока же заметим, что строгое решение задачи об образовании линейчатых спектров звёзд представляет большие трудности. Поэтому при вычислении профилей линий часто всё-таки пользуются приведёнными выше формулами, основанными на предположении о локальном термодинамическом равновесии. По-видимому, приближённо это можно делать для слабых линий, возникающих в сравнительно глубоких слоях атмосферы.