𝑆
ν
'
=
(
𝐼
ν
'
-
𝐼
ν
ʺ
).
(10.8)
Из уравнений (10.8) следует
𝐼
ν
'
-
𝐼
ν
ʺ
=
𝐹
ν
,
𝐼
ν
'
+
𝐼
ν
ʺ
=
2𝐹
ν
𝑡
ν
+
𝐶
ν
,
(10.9)
где 𝐹ν и 𝐶ν — произвольные постоянные.
Граничные условия (10.6) и (10.7) в данном случае принимают вид
𝐼
ν
ʺ
=
0
при
𝑡
ν
=
0
,
𝐼
ν
'
=
𝐼
ν
⁰
при
𝑡
ν
=
𝑡
ν
⁰
,
(10.10)
где 𝐼ν⁰ — средняя интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу. При помощи (10.10) находим
𝐶
ν
=
𝐹
ν
,
𝐹
ν
=
𝐼ν⁰
1+𝑡ν⁰
.
(10.11)
Знание произвольных постоянных позволяет получить из уравнений (10.8) и (10.9) следующее выражение для функции 𝑆ν:
𝑆
ν
=
𝐼ν⁰
1+𝑡ν⁰
⎛
⎜
⎝
1
2
+
𝑡
ν
⎞
⎟
⎠
.
(10.12)
Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, в рассматриваемом случае равна
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝑡ν⁰
∫
0
𝑆
ν
(𝑡
ν
)
𝑒
-𝑡νsec θ
sec θ
𝑑𝑡
ν
+
+
𝐼
ν
⁰(0,θ)
𝑒
-𝑡ν⁰sec θ
.
(10.13)
Если мы подставим сюда найденное выражение для 𝑆ν и воспользуемся формулой (9.10), то получим искомую величину 𝑟ν(θ), характеризующую профиль линии поглощения на угловом расстоянии θ от центра диска.
Чтобы определить величину 𝑟ν, характеризующую профиль линии в спектре всей звезды, надо найти потоки излучения, выходящего из атмосферы в частоте ν внутри линии и в непрерывном спектре вблизи линии. В принятом приближении эти величины равны
𝐻
ν
=
π𝐹
ν
,
𝐻
ν
⁰
=
π
𝐹
ν
⁰
.
(10.14)
Подставляя (10.14) в (9.11) и пользуясь второй из формул (10.11), получаем
𝑟
ν
=
1
1+𝑡ν⁰
.
(10.15)
Заметим, что величина 1/(1+𝑡ν⁰) представляет собой долю фотосферного излучения, пропущенного атмосферой в частоте ν (вообще говоря, после многократных рассеяний). Величина же 𝑡ν⁰/(1+𝑡ν⁰) есть доля этого излучения, отражённого обратно в фотосферу.
Мы можем переписать формулу (10.15) в несколько другом виде. Входящая в неё величина 𝑡ν⁰/(1+𝑡ν⁰) представляющая собой оптическую толщину атмосферы в частоте ν, равна
𝑡
ν
⁰/(1+𝑡
ν
⁰)
=
∞
∫
𝑟₀
σ
ν
𝑑𝑟
,
(10.16)
где 𝑟₀ — радиус основания атмосферы. Представим объёмный коэффициент поглощения в виде σν=𝑛𝑘ν, где 𝑛 — число атомов в нижнем состоянии для данной линии (или, как иногда говорят, число поглощающих атомов) в 1 см³ и 𝑘ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Тогда, считая, что 𝑘ν не зависит от места в атмосфере, вместо (10.16) получаем
𝑡
ν
⁰
=
𝑘
ν
𝑁
,
(10.17)
где
𝑁
=
∞
∫
𝑟₀
𝑛(𝑟)
𝑑𝑟
.
(10.18)
Величина 𝑁 есть число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см² над фотосферой. Подставляя (10.17) в (10.15), находим
𝑟
ν
=
1
1+𝑘ν𝑁
.
(10.19)
Если бы для решения системы уравнений (10.5) мы использовали второй приближённый метод (т.е. метод Эддингтона), то получили бы следующее выражение для величины 𝑟ν:
𝑟
ν
=
1
.
1
+
3
𝑘
ν
𝑁
4
(10.20)
Как видим, оно не сильно отличается от выражения (10.19).
2. Модель Эддингтона.
Сделанное выше предположение о разделении внешних частей звезды на два слоя, фотосферу и атмосферу, является довольно грубым. Теперь мы откажемся от этого предположения и будем считать, что в каждом элементарном объёме происходит поглощение и излучение энергии как в непрерывном спектре, так и в линиях. Такую модель внешних слоёв звезды будем называть моделью Эддингтона.
Строго говоря, при принятии модели Эддингтона задачи об образовании непрерывного и линейчатого спектров звёзд следует рассматривать совместно. Однако влияние поглощения и излучения в линиях на возникновение непрерывного спектра невелико и в первом приближении им можно пренебречь (это влияние, как мы знаем из § 8, учитывается во втором приближении в виде так называемого «покровного эффекта»). Следовательно, при решении задачи об образовании линейчатых спектров звёзд все величины, относящиеся к непрерывному спектру, можно считать известными.
Уравнения, определяющие интенсивность излучения внутри линии в случае модели Эддингтона, уже были получены ранее. Одним из них является уравнение переноса излучения (9.1), а другим— уравнение лучистого равновесия (10.1). Уравнение (9.1) можно переписать в виде
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
(σ
ν
+α
ν
)
𝐼
ν
+
ε
ν
+
α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(10.21)
Здесь мы воспользовались соотношением (9.2), так как считаем справедливым предположение о локальном термодинамическом равновесии для непрерывного спектра. Подставляя (10.1) в (10.21), получаем одно интегро-дифференциальное уравнение для определения величины 𝐼ν:
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
(σ
ν
+α
ν