)
𝐼
ν
+
σ
ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(10.22)
Вводя оптическую глубину в непрерывном спектре τν посредством соотношения 𝑑τν=-αν𝑑𝑟, вместо (10.22) находим
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑τν
=-
(η
ν
+1)
𝐼
ν
-
η
ν
∫
𝑑ω
4π
-
𝐵
ν
(𝑇)
,
(10.23)
где обозначено
η
ν
=
σν
αν
.
(10.24)
Вообще говоря, величина ην является очень сложной функцией от глубины, однако в дальнейшем для простоты мы примем, что ην=const.
Для получения приближённого решения уравнения (10.23) применим метод Эддингтона (см. § 2). Предварительно введём обозначения:
𝐼
ν
=
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
,
𝐻
ν
=
∫
𝐼
ν
cos θ
𝑑ω
4π
.
(10.25)
Величина 𝐼ν представляет собой среднюю интенсивность излучения в данном месте, а 4π𝐻ν — поток излучения.
Умножив (10.23) сначала на 𝑑ω/4π, а затем на cos θ 𝑑ω/4π, и проинтегрировав по всем телесным углам, находим
𝑑𝐻ν
𝑑τν
=
𝐼
ν
-
𝐵
ν
,
(10.26)
1
3
𝑑𝐼ν
𝑑τν
=
(1+η
ν
)
𝐻
ν
.
(10.27)
Здесь мы использовали приближённое соотношение
∫
𝐼
ν
cos²θ
𝑑ω
4π
=
1
3
𝐼
ν
.
(10.28)
Из уравнений (10.26) и (10.27) получаем следующее уравнение для определения 𝐼ν:
𝑑²𝐼ν
𝑑τν²
=
3(1+η
ν
)
(
𝐼
ν
-
𝐵
ν
).
(10.29)
Для величины 𝐵ν(𝑇), как и раньше, мы возьмём выражение (9.15), т.е. будем считать её линейной функцией от τν. В таком случае частное решение уравнения (10.29) будет просто равно 𝐵ν(𝑇). В качестве общего же решения этого уравнения находим
𝐼
ν
=
𝐶
ν
exp
⎛
⎝
-τ
ν
√
3(1+η
ν
)
⎞
⎠
+
+
𝐷
ν
exp
⎛
⎝
τ
ν
√
3(1+η
ν
)
⎞
⎠
+
𝐵
ν
,
(10.30)
где 𝐶ν и 𝐷ν — произвольные постоянные.
Очевидно, что в глубоких слоях атмосферы, где линии в спектре отсутствуют, 𝐼ν=𝐶ν. Поэтому должно быть 𝐷ν=0. Следовательно, имеем
𝐼
ν
=
𝐶
ν
exp
⎛
⎝
-τ
ν
√
3(1+η
ν
)
⎞
⎠
+
𝐵
ν
(𝑇₀)
(1+β
ν
⃰τ
ν
)
,
(10.31)
где обозначено βν⃰=βνα/αν. При помощи (10.27) получаем
𝐻
ν
=
1
3(1+ην)
⎡
⎢
⎣
-
𝐶
ν
exp
⎛
⎝
-τ
ν
√
3(1+η
ν
)
⎞
⎠
×
×
√
3(1+η
ν
)
+
𝐵
ν
(𝑇₀)
β
ν
⃰
⎤
⎥
⎦
.
(10.32)
Для определения постоянной 𝐶ν надо использовать граничное условие (10.6). В принятом приближении его можно записать в виде
𝐼
ν
=
2
𝐻
ν
(при
τ
ν
=0
)
.
(10.33)
Подставляя (10.31) и (10.32) в (10.33), находим
𝐶
ν
√
3(1+η
ν
)
=-
3(1+ην)-2βν⃰
√3(1+ην)+2
𝐵
ν
(𝑇₀)
.
(10.34)
Так как нашей задачей является определение профиля линии поглощения в спектре звезды, то нам надо найти поток выходящего из звезды излучения, т.е. величину 𝐻ν(0)=4π𝐻(0). Полагая в формуле (10.32) τν=0 и принимая во внимание (10.34), получаем.
1
+
β
ν
⃰
𝐻
ν
(0)
=
4π
𝐵
ν
(𝑇₀)
√
3(1+η
ν
)
.
√
3(1+η
ν
)
+2
(10.35)
Вне спектральной линии ην=0. Следовательно, поток излучения в непрерывном спектре вблизи линии равен
1
+
β
ν
⃰
𝐻
ν
⁰(0)
=
4π
𝐵
ν
(𝑇₀)
√
3
.
√
3
+2
(10.36)
Из (10.35) и (10.36) находим
𝑟
ν
=
𝐻ν(0)
𝐻ν⁰(0)
=
1 +
βν⃰
√3(1+ην)
1 +
βν⃰
√3
•
√3+2
√3(1+ην)+2
.
(10.37)
Этой формулой и определяется искомый профиль линии поглощения в звёздном спектре.
Заметим, что в центральных частях сильных линий ην≫1. Поэтому в данном случае имеем
𝑟
ν
≃
√3+2
√3+βν⃰
⋅
1
√ην
.
(10.38)
Мы видим, что величина 𝑟ν зависит от βν⃰ только через посредство потока в непрерывном спектре. Поток же в центральных частях линии от βν⃰ практически не зависит. Это объясняется тем, что центральные части сильных линий образуются в самых поверхностных слоях атмосферы [где можно считать, что 𝐵ν(𝑇)=𝐵ν(𝑇₀)].
Во внешних частях линии ην≪1. В этом случае формула (10.37) даёт
𝑟
ν
=