exp
⎛
⎝
-
𝑏
ν
τ
ν
⎞
⎠
+
1+𝑄γην
1+γην
𝐵
ν
(𝑇₀)
(1+
β
ν
⃰
τ
ν
),
(10.48)
где
𝑏
ν
²
=
3(1+η
ν
)
(1+γη
ν
)
,
(10.49)
а 𝐶ν — произвольная постоянная. Постоянная при exp(𝑏ντν) равна нулю, так как 𝐼ν не может с увеличением τν возрастать экспоненциально. Подставляя (10.48) в (10.46), находим
𝐻
ν
=
1
3(1+ην)
⎡
⎢
⎣
-𝑏
ν
𝐶
ν
exp
⎛
⎝
-
𝑏
ν
τ
ν
⎞
⎠
+
+
1+𝑄γην
1+γην
𝐵
ν
(𝑇₀)
β
ν
⃰
⎤
⎥
⎦
(10.50)
Определяя постоянную 𝐶ν из условия (10.33), получаем следующее выражение для интересующего нас потока излучения на границе звезды:
𝐻
ν
(0)
=
4π
𝐵
ν
(𝑇₀)
1+𝑄γην
1+γην
𝑏ν+βν⃰
3(1+ην)+2𝑏ν
.
(10.51)
Отсюда вытекает, что
𝑟
ν
=
1+𝑄γη
ν
•
𝑏
ν
+β
ν
⃰
•
√
3
+2
.
1+γη
ν
1
+
β
ν
⃰
3(1+η
ν
)+2𝑏
ν
√
3
(10.52)
Полученная формула для 𝑟ν является обобщением формулы (10.37) на случай наличия флуоресценции.
Для того чтобы пользоваться формулой (10.52), надо определить величину γ. Как уже сказано, она равна отношению числа ионизаций из второго состояния к сумме числа ионизаций и числа спонтанных переходов из этого состояния. При помощи эйнштейновских коэффициентов переходов (см. § 8) величина γ представляется в виде
γ
=
𝐵₂₃ρ₂₃
𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁
.
(10.53)
В этой формуле
𝐵₂₃ρ₂₃
=
𝑐
∞
∫
ν₂₃
ρ
ν
𝑘
2ν
𝑑ν
ℎν
,
(10.54)
где ν₂₃ — частота ионизации из второго состояния, 𝑘2ν — коэффициент поглощения за границей второй серии.
Для грубой оценки величины γ можно поступить так. Будем считать, что величина 𝐵₂₃ρ₂₃ действительно является произведением плотности излучения непосредственно за границей второй серии ρ₂₃ на эйнштейновский коэффициент перехода [определённый в согласии с формулой (10.54)]. Тогда, представляя ρ₂₃ и 𝐴₂₁ в виде
ρ₂₃
=
σ₂₃
,
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν₂₃
⎞
⎟
⎠
-1
𝑘𝑇
(10.55)
𝐴₂₁
=
𝑔₁
𝑔₂
σ₁₂
𝐵₁₂
(10.56)
где
σ
𝑖𝑘
=
8πℎν𝑖³𝑘
𝑐³
,
(10.57)
и принимая приближённо 𝑔₂≈𝑔₁, σ₁₂≈σ₂₃, 𝐵₁₂≈𝐵₂₃, получаем
γ
≈
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν₂₃
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(10.58)
Оценка величины γ по формуле (10.58) для атомов с потенциалом ионизации из возбуждённого состояния около 3 эВ (например, для Na I и Са I) при температуре Солнца даёт γ≈10⁻³. Вычисления по формулам (10.53) и (10.54) приводят к значениям такого же порядка (γ=0,0015 для линий D₁ и D₂ натрия и γ=0,0004 для линии λ 4227 Са I).
Формулу (10.52) для 𝑟ν и сделанные оценки величины γ мы используем ниже (в § 11) при обсуждении вопроса о центральных интенсивностях линий поглощения.
4. Точное решение задачи.
Рассматриваемую нами задачу об определении профилей линий поглощения в звёздных спектрах при сделанных выше предположениях можно решить точно. Для получения такого решения мы применим способ, изложенный в § 3.
Уравнение переноса излучения мы возьмём в форме (10.21), а коэффициент излучения εν зададим уравнением (10.43), т.е. примем во внимание флуоресценцию. Указанные уравнения можно переписать в виде
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑡ν
=
𝐼
ν
-
𝑆
ν
,
(10.59)
где 𝑑𝑡ν=-(σν+αν) 𝑑𝑟 и
𝑆
ν
=
(1-γ)
ην
1+ην
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
1+𝑄γην
1+ην
𝐵
ν
(𝑇)
.
(10.60)
Функцию 𝐵ν(𝑇), как и выше, представим формулой (9.15). Переходя в ней от τν к 𝑡ν, имеем
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎛
⎜
⎝
1+
βν⃰
1+ην
⎞
⎟
⎠
(10.61)
где
β
ν
⃰
=
β
ν
α
αν
.
Решая уравнение (10.59) относительно 𝐼ν и подставляя найденное выражение 𝐼ν через 𝑆ν в уравнение (10.60) (т.е. поступая так же, как в § 2 при получении уравнения Милна), мы приходим к следующему интегральному уравнению для определения функции 𝑆ν(𝑡ν):
𝑆
ν
(𝑡
ν
)
=
λν
2
∞
∫
0
𝐸₁|𝑡
ν
-𝑡
ν
'|
𝑆
ν
(𝑡
ν
')
𝑑𝑡
ν
'
+
+
1+𝑄γην
1+ην
𝐵
ν
(𝑇)
,
(10.62)
где обозначено
λ
ν
=
(1-γ)
ην
1+ην
.
(10.63)
Перепишем уравнение (10.62) в виде
𝑆(𝑡)
=
λ
2
∞
∫
0
𝐸₁|𝑡-𝑡'|
𝑆(𝑡')
𝑑𝑡'
+
𝑔(𝑡)
,
(10.64)
опуская для простоты на время индекс ν. Свободный член этого уравнения является линейной функцией от 𝑡 т.е.