Введём оптическую глубину τ в непрерывном спектре при помощи соотношения 𝑑τ=-αν𝑑𝑟 (для упрощения записи мы опускаем индекс ν при τ). Тогда указанные уравнения принимают вид
μ
𝑑𝐼ν(τ,ν)
𝑑τ
=
(η
ν
+1)
𝐼
ν
(τ,ν)
-
η
ν
𝑆(τ)
-
𝐵
ν
(𝑇)
(11.9)
и
𝑆(τ)
=
½
∫
𝑝
ν
𝑑ν
+1
∫
-1
𝐼
ν
(τ,ν)
𝑑ν
,
(11.10)
где μ=cos θ, η=σν/α и использовано обозначение (11.5).
Величину 𝐵ν(𝑇) мы раньше брали в виде линейной функции от τ, однако теперь для простоты будем считать её постоянной и равной 𝐵ν(𝑇₀).
Из уравнения (11.9) следует, что искомая интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, равна
𝐼
ν
(0,μ)
=
ην
ην+1
∞
∫
0
𝑆(τ)
𝑒
-𝑥τ
𝑥
𝑑τ
+
𝐵ν(𝑇₀)
ην+1
,
(11.11)
где обозначено
𝑥
=
ην+1
μ
.
(11.12)
Для составления интегрального уравнения, определяющего функцию 𝑆(τ), найдём интенсивность излучения 𝐼ν из (11.9) и подставим в (11.10). В результате получаем
𝑆(τ)
=
½
∫
𝑝
ν
𝑑ν
∞
∫
0
⎡
⎣
η
ν
𝑆(τ')
+
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎤
⎦
𝐸₁
×
×
⎡
⎣
|τ-τ'|
(η
ν
+1)
⎤
⎦
𝑑τ'
.
(11.13)
Уравнение (11.13) может быть переписано в виде
𝑆(τ)
=
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ'|)
𝑆(τ')
𝑑τ'
+
𝑔(τ)
,
(11.14)
где
𝐾(τ)
=
½
∫
𝑝
ν
η
ν
𝑑ν
∞
∫
ην+1
𝑒
-𝑥τ
𝑑𝑥
𝑥
(11.15)
и
𝑔(τ)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎡
⎢
⎣
∫
𝑝ν𝑑ν
ην+1
-
½
∫
𝑝
ν
𝑑ν
∞
∫
ην+1
𝑒
-𝑥τ
𝑑𝑥
𝑥²
⎤
⎥
⎦
.
(11.16)
Меняя порядок интегрирования в (11.15), находим
𝐾(τ)
=
∞
∫
0
𝑒
-𝑥τ
𝐴(𝑥)
𝑑𝑥
,
(11.17)
где
𝐴(𝑥)
=
1
𝑥
∞
∫
ν(𝑥)
𝑝
ν
η
ν
𝑑ν
,
(11.18)
а ν(𝑥)=ν₀, если 𝑥>ην₀, и ην(𝑥)+1=𝑥, если 𝑥<ην₀+1 (ν₀ — центральная частота линии).
Аналогично получаем
𝑔(τ)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎡
⎢
⎣
∫
𝑝ν𝑑ν
ην+1
-
½
∞
∫
1
𝑒
-𝑥τ
𝐴₁(𝑥)
𝑑𝑥
⎤
⎥
⎦
,
(11.19)
где
𝐴₁(𝑥)
=
1
𝑥²
∞
∫
ν(𝑥)
𝑝
ν
𝑑ν
(11.20)
и нижний предел интегрирования определяется так же, как в (11.18).
Уравнение (11.14) может быть решено методом, изложенным в § 3. Однако нас интересует не сама функция 𝑆(τ), а только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы. Эту же величину можно найти по формулам, приведённым в § 3, без предварительного определения функции 𝑆(τ). При этом она будет выражена через функцию 𝑆(0,𝑥), определённую уравнением (3.20).
Из формулы (11.19) мы видим, что свободный член уравнения (11.14) состоит из двух частей: постоянной и суперпозиции экспонент. Поэтому, обозначая через 𝑆(τ,𝑥) решение уравнения (11.14) при свободном члене 𝑒-𝑥τ, получаем
𝑆(τ)
=
𝐵
ν
(𝑇₀)
⎡
⎢
⎣
𝑆(τ,0)
∫
𝑝ν𝑑ν
ην+1
-
-
½
∞
∫
1
𝑆(τ,𝑥)
𝐴₁(𝑥)
𝑑𝑥
⎤
⎥
⎦
.
(11.21)
Подставляя (11.21) в (11.11) и пользуясь формулой (3.19), находим
𝐼
ν
(0,μ)
=
ην
ην+1
𝐵
ν
(𝑇₀)
𝑆(0,𝑥)
×
×
⎡
⎢
⎣
𝑆(0,0)
𝑝ν𝑑ν
ην+1
-
𝑥
2
∞
∫
1
𝑆(0,𝑦)
𝑥+𝑦
𝐴₁(𝑦)
𝑑𝑦
⎤
⎥
⎦
+
𝐵ν(𝑇₀)
ην+1
.
(11.22)
Входящая в формулу (11.22) величина 𝑆(0,0) может быть найдена при помощи соотношения (3.27). Принимая во внимание (11.17), вместо этого соотношения имеем
𝑆²(0,0)
=
⎡
⎢
⎣
1-2
∞
∫
0
𝐾(τ)
𝑑τ
⎤
⎥
⎦
=
1.
(11.23)
Подставляя сюда выражение (11.15), получаем
𝑆²(0,0)
∫
𝑝ν𝑑ν
ην+1
=
1.
(11.24)
Поэтому формула (11.22) принимает вид
𝐼
ν
(0,μ)
=
ην
ην+1
𝐵
ν
(𝑇₀)
𝑆(0,𝑥)
×
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑝ν𝑑ν
ην+1
⎞½
⎟
⎠
-
𝑥
2
∞
∫
1
𝑆(0,𝑦)
𝑥+𝑦
𝐴₁(𝑦)
𝑑𝑦
⎤
⎥
⎦
+
𝐵ν(𝑇₀)
ην+1
.
(11.25)
Формулой (11.25) и даётся искомая интенсивность излучения, выходящего из атмосферы внутри спектральной линии. Вне линии интенсивность излучения в данном случае равна 𝐵ν(𝑇₀). Поэтому для величины 𝑟ν(μ) имеем
𝑟
ν
(μ)
=
𝐼ν(0,μ)
𝐵ν(𝑇₀)
(11.26)
Функция 𝑆(0,𝑥), через которую выражается интенсивность излучения 𝐼ν(0,μ), определяется уравнением (3.20). Полагая 𝑥=1/𝑧 и 𝑆(0,𝑥)=φ(𝑧), вместо этого уравнения получаем