Как уже было сказано во введении к этой главе, в фотосфере нет источников энергии и вырабатываемая внутри звезды энергия переносится через фотосферу лучеиспусканием. Поэтому излучение каждого элементарного объёма фотосферы происходит за счёт поглощаемой им лучистой энергии. Предполагая стационарность фотосферы» мы можем сказать, что каждый элементарный объём фотосферы излучает столько энергии, сколько он поглощает. Такое состояние фотосферы называется состоянием лучистого равновесия.
Разумеется, в состоянии лучистого равновесия находятся лишь фотосферы тех звёзд, которые не претерпевают быстрых изменений с течением времени. Как известно, они составляют огромное большинство звёзд. Именно об этих звёздах и будет идти речь в настоящей главе. Звёзды с быстро меняющимися блеском и спектром (например, новые звёзды) будут рассмотрены позднее (см. гл. VI).
Дадим математическую формулировку условия лучистого равновесия. Для этого найдём количество лучистой энергии, поглощаемое элементарным объёмом, и количество энергии, излучаемое этим объёмом.
Возьмём элементарный объём с площадью основания 𝑑σ и высотой 𝑑𝑟. Пусть на этот объём падает излучение интенсивности 𝐼ν внутри телесного угла 𝑑ω в направлении, образующем угол θ с нормалью к основанию. Количество энергии, падающее на объём в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡, будет равно 𝐼ν𝑑σ cosθ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Так как путь, проходимый излучением в объёме, равен 𝑑𝑟 secθ, то из общего количества падающей на объём энергии будет поглощаться в нём доля αν𝑑𝑟 secθ. Следовательно, количество поглощённой энергии будет равно
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
α
ν
𝐼
ν
𝑑ν
𝑑ω
.
Чтобы получить полное количество поглощённой объёмом энергии, надо проинтегрировать это выражение по всем частотам и по всем направлениям. В результате находим, что полное количество поглощённой объёмом энергии даётся выражением
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
∞
∫
0
α
ν
𝑑ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
.
(1.15)
На основании (1.10) количество энергии, излучаемое объёмом 𝑑σ 𝑑𝑟 внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡, будет равно
ε
ν
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑ω
𝐼
ν
𝑑𝑡
.
Так как энергия в непрерывном спектре излучается элементарным объёмом с одинаковой вероятностью во все стороны, то для полного количества энергии, излучаемого этим объёмом, получаем выражение
4π
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
∞
∫
0
ε
ν
𝑑ν
.
(1.16)
Приравнивая друг к другу выражения (1.15) и (1.16), находим
4π
∞
∫
0
ε
ν
𝑑ν
=
∞
∫
0
α
ν
𝑑ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
.
(1.17)
Уравнение (1.17) называется уравнением лучистого равновесия
Уравнение переноса излучения (1.11) и уравнение лучистого равновесия (1.17) принадлежат к числу основных уравнений теории звёздных фотосфер.
4. Геометрическая модель фотосферы.
Уравнение (1.11) представляет собой самую общую форму уравнения переноса излучения. В конкретных случаях вид уравнения переноса излучения определяется принятой системой координат, а также тем, от каких аргументов зависит интенсивность излучения.
Мы можем считать, что звезда обладает сферической симметрией. В этом случае интенсивность излучения 𝐼ν зависит от двух аргументов: от расстояния 𝑟 от центра звезды и от угла θ между направлением излучения и направлением радиуса-вектора. В данном случае мы имеем:
𝑑𝐼ν
𝑑𝑠
=
∂𝐼ν
∂𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
+
∂𝐼ν
∂θ
𝑑θ
𝑑𝑠
(1.18)
и
𝑑𝑟
𝑑𝑠
=
cosθ
,
𝑑θ
𝑑𝑠
=-
sinθ
𝑟
.
(1.19)
Поэтому уравнение переноса излучения в случае сферически-симметричной фотосферы принимает вид
cosθ
∂𝐼ν
∂𝑟
-
sinθ
𝑟
∂𝐼ν
∂θ
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(1.20)
В рассматриваемом случае уравнение лучистого равновесия (1.17) может быть заменено другим, более простым уравнением, имеющим тот же физический смысл. Проинтегрировав уравнение (1.20) по всем частотам и по всем направлениям, получаем
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟²
∞
∫
0
𝐻
ν
𝑑ν
⎞
⎟
⎠
=-
∞
∫
0
α
ν
𝑑
ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
+
4π
∞
∫
0
ε
ν
𝑑ν
.
(1.21)
Из (1.21) видно, что если выполняется уравнение (1.17), то должно выполняться и уравнение
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟²
∞
∫
0
𝐻
ν
𝑑ν
⎞
⎟
⎠
=
0.
(1.22)
Из (1.22) следует
∞
∫
0
𝐻
ν
𝑑ν
=
𝐶
𝑟²
,
где 𝐶 — некоторая постоянная, определяемая источниками энергии звезды.
Таким образом, полный поток излучения (т.е. поток излучения, проинтегрированный по всему спектру) в сферически-симметричной фотосфере обратно пропорционален квадрату расстояния от центра звезды. Соотношение (1.23), как и уравнение (1.17), является следствием отсутствия источников и стоков энергии в фотосфере.
Как уже говорилось, почти все звёзды обладают фотосферами, толщина которых очень мала по сравнению с радиусом звезды. Для этих звёзд уравнения (1.20) и (1.23) могут быть сильно упрощены. Этого нельзя сделать лишь для звёзд особых типов (например, для звёзд типа Вольфа — Райе).
Рис. 2
Если толщина фотосферы гораздо меньше радиуса звезды, то фотосферные слои могут считаться не сферическими, а плоскопараллельными (рис. 2). В этом случае угол θ не меняется вдоль луча и вместо уравнения (1.20) получаем
cosθ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(1.24)
Так как расстояние 𝑟 от центра звезды меняется в фотосфере в очень небольших пределах, то вместо уравнения (1.23) имеем