2,7
428
0,04
4740
4,19
0,27
3,9
370
0,06
4790
4,30
0,36
5,0
333
0,08
3840
4,38
0,44
6,0
307
0,10
4890
4,43
0,50
6,6
290
0,20
5090
4,60
0,71
9,4
232
0,40
5400
4,77
0,96
13,1
170
0,60
5660
4,86
1,15
15,4
135
0,80
5870
4,91
1,32
16,6
115
1,00
6070
4,94
1,48
17,3
103
В первом столбце таблицы дана оптическая глубина, соответствующая среднему коэффициенту поглощения, во втором — температура 𝑇, в третьем и четвёртом — логарифмы полного давления 𝑝 и электронного давления 𝑝𝑒 соответственно, в пятом — плотность в г/см³ и в последнем — геометрическая высота в километрах, отсчитываемая от некоторого уровня.
Для Солнца может быть также построена эмпирическая модель фотосферы. Эта возможность основана на том, что в случае Солнца мы имеем наблюдательные данные о распределении яркости по диску для разных частот. Как известно, интенсивность излучения, выходящего из фотосферы на угловом расстоянии θ от центра диска, даётся формулой
𝐼
ν
(0,θ)
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
exp
⎛
⎝
-
τ
ν
sec
θ
⎞
⎠
sec
θ
𝑑τ
ν
,
(15.1)
где 𝐵ν(𝑇) — планковская интенсивность при температуре 𝑇 и τν — оптическая глубина в частоте ν. Считая температуру 𝑇 функцией от τν, мы можем рассматривать соотношение (15.1) как интегральное уравнение для определения величины 𝐵ν(𝑇).
Для получения приближённого решения уравнения (15.1) величину 𝐵ν(𝑇) обычно представляют в виде разложения по некоторым функциям от τν с неопределёнными коэффициентами. Например, можно положить
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝑎
ν
+
𝑏
ν
τ
ν
+
𝑐
ν
τ
ν
²
.
(15.2)
Подставляя (15.2) в (15.1) и интегрируя, находим
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝑎
ν
+
𝑏
ν
cos
θ
+2
𝑐
ν
cos²
θ
.
(15.3)
Коэффициенты 𝑎ν 𝑏ν и 𝑐ν определяются по полученным из наблюдений значениям величины 𝐼ν(0,θ). Вместо выражения (15.2) можно пользоваться формулой:
𝐵
ν
(𝑇)
=
𝑎
ν
+
𝑏
ν
τ
ν
+
𝑐
ν
𝐸₂
τ
ν
,
(15.4)
дающей более правильные результаты как при τν→0, так и при τν→∞. Подставляя (15.4) в (15.1), имеем
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝑎
ν
+
𝑏
ν
cos
θ
+
+
𝑐
ν
⎡
⎣
1-cos
θ
ln(1+sec
θ)
⎤
⎦
.
(15.5)
Формулы (15.2) и (15.4) связывают между собой величины τν и 𝑇, т.е. дают оптические глубины в разных частотах на одном и том же уровне в фотосфере (характеризуемом температурой 𝑇). На основании определения оптической глубины мы имеем
α
ν
=-
𝑑τν
𝑑𝑟
=-
𝑑τν
𝑑𝑇
⋅
𝑑𝑇
𝑑𝑟
.
(15.6)
Следовательно, если известна величина τν как функция от 𝑇, то можно найти и величину αν как функцию от 𝑇 (с точностью до постоянного для данного слоя множителя 𝑑𝑇/𝑑𝑟). Тем самым находится эмпирическая зависимость αν от частоты ν на разных глубинах.
Полученная указанным способом зависимость αν от ν была сопоставлена с теоретическим выражением для αν, обусловленным отрицательным ионом водорода. Такое сопоставление с несомненностью подтвердило правильность принимаемого источника поглощения в фотосфере Солнца.
После определения зависимости температуры 𝑇 от τν может быть найдена и зависимость давления 𝑝 от τν. Для этого мы должны воспользоваться уравнением гидростатического равновесия (4.42), которое вместе с уравнением (15.6) даёт
𝑑𝑝
𝑑τν
=
𝑔ρ
αν
.
(15.7)
Для коэффициента поглощения αν возьмём теоретическое выражение (5.14), представив его в виде αν=ρ𝑝𝑒ƒν(𝑇) (так как 𝑛₁=ρ/𝑚H вследствие слабой ионизации водорода в солнечной фотосфере). Поэтому вместо уравнения (15.7) получаем
𝑑𝑝
𝑑τν
=
𝑔
𝑝𝑒ƒν(𝑇)
.
(15.8)
При заданном химическом составе электронное давление 𝑝𝑒 может быть выражено через 𝑝 и 𝑇 при помощи формулы ионизации. Это позволяет проинтегрировать уравнение (15.8), т.е. найти 𝑝 в виде функции от τν. После этого плотность ρ находится из уравнения состояния газа. Для установления связи между оптическими и геометрическими расстояниями в фотосфере можно применить соотношение
𝑟-𝑟₀
=-
∫
𝑑τν
αν
,
(15.9)
где 𝑟₀ — произвольная постоянная. Так как αν зависит от 𝑝 и 𝑇, то для выполнения интегрирования в (15.9) надо использовать найденные выражения этих величин через τν.
Эмпирические модели солнечной фотосферы в общих чертах согласуются с теоретическими моделями, однако между ними имеются и различия. Отчасти эти различия вызваны тем, что в работах по теории фотосфер не вполне точно учитывались некоторые существенные явления (покровный эффект, конвекция и др.).
2. Конвекция и грануляция.
В теории звёздных фотосфер обычно предполагается, что в фотосфере осуществляется лучистое равновесие. Такое предположение мы сделали в гл. I, и на его основе определялась структура фотосферы и рассчитывалось поле излучения в ней. В частности, приведённые в табл. 18 результаты расчёта модели фотосферы Солнца были получены при допущении о лучистом равновесии фотосферы. Однако возникает вопрос о том, будет ли такое состояние фотосферы устойчивым, т.е. будет ли элемент объёма, выведенный каким-либо образом из своего равновесного положения, возвращаться в него под действием существующих в фотосфере сил. Если этого не будет, то в фотосфере возникнут перемещения газовых масс, т.е. конвекция.
Найдём условие наступления конвекции в фотосфере. Для этого допустим, что некоторый элементарный объём испытывает перемещение снизу вверх. Будем считать, что объём при этом перемещении расширяется адиабатически. Тогда температура и плотность в объёме будут изменяться определённым образом (согласно уравнениям адиабаты). Если температура в объёме окажется ниже температуры окружающего газа (а значит, плотность в объёме больше плотности этого газа), то под действием тяготения объём вернётся в исходное положение. Если же температура в объёме окажется выше температуры окружающего газа, то объём будет продолжать подниматься. В последнем случае наступает конвекция.