∞
∫
0
𝐻
ν
𝑑
ν
=
const.
(1.25)
Таким образом, при рассмотрении поля излучения в фотосферах «обычных» звёзд следует пользоваться уравнениями (1.24) и (1.17) или уравнениями (1.24) и (1.25).
§ 2. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты
1. Основные уравнения.
Первоначально в теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты, ведущее к существенному упрощению теории. В дальнейшем, однако, было установлено, что это предположение является весьма грубым. Тем не менее теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты, продолжает сохранять своё значение, так как она может рассматриваться как первое приближение к более строгой теории.
Считая, что коэффициент поглощения не зависит от частоты (т.е. αν=α), вместо уравнения переноса излучения (1.24) и уравнения лучистого равновесия (1.17) получаем
cosθ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
,
(2.1)
4π
∞
∫
0
ε
ν
𝑑ν
=
α
∫
𝑑ω
∞
∫
0
𝐼
ν
𝑑ν
.
(2.2)
Введём обозначения
∞
∫
0
𝐼
ν
𝑑ν
=
𝐼
,
∞
∫
0
ε
ν
𝑑ν
=
ε.
(2.3)
Величину 𝐼 можно назвать полной интенсивностью излучения, а величину ε — полным коэффициентом излучения.
Проинтегрировав уравнение (2.1) по всем частотам, находим
cosθ
𝑑𝐼
𝑑𝑟
=-
α𝐼
+
ε
,
(2.4)
а уравнение (2.2) переписывается в виде
4πε
=
α
∫
𝐼
𝑑ω
.
(2.5)
При исследовании переноса излучения в любой среде целесообразно переходить от геометрических расстояний к оптическим расстояниям. В данном случае удобно ввести оптическую глубину τ, определяемую формулой
τ
=
∞
∫
𝑟
α
𝑑𝑟
(2.6)
Положим также
ε
=
α𝑆
.
(2.7)
Тогда уравнения (2.4) и (2.5) принимают вид
cosθ
𝑑𝐼
𝑑τ
=
𝐼-𝑆
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑆
=
∫
𝐼
𝑑ω
4π
.
(2.8)
Таким образом, мы получили два уравнения для определения двух неизвестных функций 𝐼 и 𝑆.
В системе уравнений (2.8) величина 𝐼 является функцией от τ и θ, а величина 𝑆 — функцией от τ. Учитывая, что 𝑑ω=sinθ 𝑑θ 𝑑φ, и производя интегрирование по φ в пределах от 0 до 2π, вместо (2.8) получаем
cosθ
𝑑𝐼(τ,θ)
𝑑τ
=
𝐼(τ,θ)
-
𝑆(τ)
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑆(τ)
=
½
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
.
(2.9)
К системе уравнений (2.9) необходимо добавить ещё граничное условие. Оно выражает тот факт, что нет излучения, падающего на звезду извне, т.е.
𝐼(0,θ)
=
0
при
θ
>
π
2
.
(2.10)
Кроме того, для получения вполне определённого решения системы уравнений (2.9) при граничном условии (2.10) следует задать ещё полный поток излучения в фотосфере, равный
𝐻
=
𝐿
4π𝑅²
,
(2.11)
где 𝐿 — светимость звезды (т.е. полное количество энергии, излучаемое звездой за 1 с) и 𝑅 — радиус звезды.
Системы уравнений типа (2.9) весьма часто встречаются в астрофизике. С такими же уравнениями приходится иметь дело и в геофизике (при изучении рассеяния света в земной атмосфере и в водных бассейнах). К аналогичным уравнениям приводят и некоторые проблемы физики (например, проблема диффузии нейтронов). Поэтому системы уравнений типа (2.9) были предметом многочисленных исследований и для их решения предложен ряд методов (см. [4] и [5]).
Ниже излагаются некоторые из этих методов, представляющих наибольший интерес для астрофизики.
2. Приближённое решение уравнений.
Для решения системы уравнений (2.9) были предложены приближённые методы, основанные на усреднении интенсивности излучения по направлениям. Первый из этих методов принадлежит Шварцшильду и Шустеру, второй — Эддингтону. Мы сейчас решим систему уравнений (2.9) при помощи каждого из указанных методов.
Метод Шварцшильда — Шустера. Обозначим через 𝐼₁(τ) среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через 𝐼₂(τ) — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз. Эти величины равны
𝐼₁(τ)
=
π/2
∫
0
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
,
𝐼₂(τ)
=
π
∫
π/2
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
.
(2.12)
Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ 𝑑θ и интегрируя в пределах от 0 до π/2, получаем
𝑑
𝑑τ
π/2
∫
0
𝐼(τ,θ)
cosθ
sinθ
𝑑θ
=
𝐼₁(τ)
-
𝑆(τ)
.
(2.13)
Интеграл в левой части этого уравнения приближённо представим в виде
π/2
∫
0
𝐼(τ,θ)
cosθ
sinθ
𝑑θ
=
½
𝐼₁(τ)
,
(2.14)
т.е. вынесем за знак интеграла среднее значение cosθ в верхней полусфере, равное ½. Тогда вместо (2.13) будем иметь
1
2
𝑑𝐼₁(τ)
𝑑τ
=
𝐼₁(τ)
-
𝑆(τ)
.
(2.15)
Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ 𝑑θ и интегрируя в пределах от π/2 до π, аналогично находим
-
1
2
𝑑𝐼₂(τ)
𝑑τ
=
𝐼₂(τ)
-
𝑆(τ)
.
(2.16)
Второе из уравнений (2.9) при помощи величин 𝐼₁(τ) и 𝐼₂(τ) переписывается так:
𝑆(τ)
=
½[
𝐼₁(τ)
+
𝐼₂(τ)
]
(2.17)
Таким образом, от системы уравнений (2.9) мы приближённо перешли к системе уравнений (2.15)—(2.17), которая решается весьма просто.
Складывая почленно уравнения (2.15) и (2.16) и пользуясь (2.17), находим
𝐼₁(τ)
-
𝐼₂(τ)
=
𝐹
,
(2.18)
где 𝐹 — произвольная постоянная. Вычитая (2.16) из (2.15) и учитывая (2.18), получаем
𝐼₁(τ)
+
𝐼₂(τ)
=