𝐵
ν
(𝑇₁)
+
𝑏
ν
𝐵
ν
(𝑇₂)
⎤
⎦
,
(18.21)
где обозначено
𝑎
ν
=
2
𝑅²
∞
∫
0
⎡
⎢
⎣
1-exp
⎛
⎝
-
𝑡
ν
⁰(𝑟)
⎞
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑟
𝑑𝑟
,
(18.22)
𝑏
ν
=
2
𝑅²
𝑅
∫
0
exp
⎛
⎝
-
𝑡
ν
⁰(𝑟)
⎞
⎠
𝑟
𝑑𝑟
.
(18.23)
Выражая светимость Солнца 𝐿ν через яркостную температуру 𝑇ν при помощи формулы (18.6), а также пользуясь формулой (18.1) для величины 𝐵ν(𝑇), вместо (18.21) получаем
𝑇
ν
=
𝑎
ν
𝑇₁
+
𝑏
ν
𝑇₂
.
(18.24)
Формула (18.24) выражает яркостную температуру 𝑇ν солнечного радиоизлучения частоты ν через температуру короны 𝑇₁ и температуру хромосферы 𝑇₂.
Величины 𝑎ν и 𝑏ν легко определяются численно. В частности, согласно [7] имеем:
𝑎
ν
=
1,
𝑏
ν
=
0,0019
для
λ
=
3
см,
𝑎
ν
=
0,99,
𝑏
ν
=
0,021
»
λ
=
10
см,
𝑎
ν
=
0,96,
𝑏
ν
=
0,088
»
λ
=
21
см,
𝑎
ν
=
0,82,
𝑏
ν
=
0,37
»
λ
=
50
см.
Задавая температуры короны и хромосферы (𝑇₁≈10⁶ кельвинов и 𝑇₂≈10⁴ кельвинов), мы можем найти теоретическую зависимость яркостной температуры 𝑇ν от частоты. Значения 𝑇ν, получаемые из наблюдений, приближённо удовлетворяют этой зависимости.
4. Распространение радиоволн в короне.
При нахождении распределения яркости радиоизлучения по солнечному диску мы предполагали, что излучение распространяется прямолинейно. Однако в действительности радиоизлучение в поверхностных слоях Солнца может испытывать рефракцию. Чтобы выяснить роль рефракции, надо знать выражение для показателя преломления радиоволн в плазме.
Рассматривая движения свободного электрона в поле радиоволны, можно получить (см. [9]) как выражение для коэффициента поглощения αν, так и выражение для показателя преломления 𝑛. Выражение для коэффициента поглощения уже было дано выше формулой (18.8). Что же касается показателя преломления, то он оказывается равным
𝑛
=
⎛
⎜
⎝
1-
ν𝑐²
ν²
⎞½
⎟
⎠
,
(18.25)
где величина ν𝑐², представляющая собой собственную частоту колебаний плазмы, определяется формулой
ν
𝑐
²
=
𝑒²𝑛𝑒
π𝑚
.
(18.26)
Мы видим, что 𝑛<1, т.е. плазма обладает меньшим показателем преломления для радиоволн, чем вакуум. С увеличением 𝑛𝑒 показатель преломления убывает, и для каждой частоты ν существует такое критическое значение электронной концентрации 𝑛𝑒', при котором 𝑛=0. Через уровень, где 𝑛=0, излучение не проходит, испытывая полное отражение. Следовательно, радиоизлучение идёт лишь от слоёв солнечной атмосферы, расположенных выше указанного уровня.
С другой стороны, как мы знаем, излучение идёт к наблюдателю в основном от тех слоёв, оптическая глубина которых меньше единицы. Обозначим через 𝑛𝑒'' значение электронной концентрации при τν=1. Тогда можно сказать, что если 𝑛𝑒'≫𝑛𝑒'' (т.е. уровень с 𝑛=0 находится ниже уровня с τν=1), то рефракция мало влияет на излучение, идущее к наблюдателю. Подсчёты показывают, что так обстоит дело для сантиметровых и дециметровых волн. Например, при λ=10 см, как следует из формулы (18.26), 𝑛𝑒'≈10¹¹ см⁻³, а 𝑛𝑒''≈10⁹ см⁻³. В этом случае 𝑛≈1 во всей области, где τν<1. Однако для метровых волн 𝑛𝑒'≪𝑛𝑒'', и рефракция играет очень большую роль.
Для определения траектории луча при учёте рефракции надо воспользоваться известным соотношением
𝑛(𝑟')
𝑟'
sin θ
=
𝑟
,
(18.27)
где 𝑛(𝑟') — показатель преломления на расстоянии 𝑟' от центра Солнца, θ — угол между направлением излучения и радиусом-вектором, 𝑟 — расстояние от центра Солнца до касательной к направлению излучения, выходящего из короны. Подстановка в уравнение (18.27) выражения (18.25) даёт для траектории луча кривую, обращённую выпуклостью к центру Солнца (рис. 23).
Рис. 23
Очевидно, что оптический путь луча в короне определяется формулой
𝑡
ν
⁰(𝑟)
=
2
∞
∫
𝑟₀
α
ν
(𝑟')
sec θ
𝑑𝑟'
,
(18.28)
где 𝑟₀ находится из условия: 𝑑(𝑟₀)𝑟₀=𝑟 Пользуясь соотношением (18.27), получаем
𝑡
ν
⁰(𝑟)
=
2
∞
∫
𝑟₀
α
ν
(𝑟')
𝑑𝑟'
.
⎛
⎜
⎝
1-
⎡
⎢
⎣
𝑟
⎤²
⎥
⎦
⎞½
⎟
⎠
𝑛(𝑟')𝑟'
(18.29)
Величина 𝑡ν⁰(𝑟) определённая формулой (18.29), и должна быть подставлена в формулу (18.15) для вычисления интенсивности излучения, выходящего из короны на метровых волнах. Найденное в результате таких вычислений распределение интенсивности радиоизлучения по солнечному диску существенно отличается от распределения, полученного без учёта рефракции.
Заметим, что для среды с изменяющимся показателем преломления уравнение переноса излучения имеет вид
𝑛²
=
𝑑
𝑑𝑠
⎛
⎜
⎝
𝐼ν
𝑛²
⎞
⎟
⎠
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(18.30)
Так как при термодинамическом равновесии интенсивность излучения равна 𝑛²𝐵ν(𝑇), где 𝐵ν(𝑇) — планковская интенсивность, то связь между коэффициентом излучения εν и коэффициентом поглощения αν даётся формулой
ε
ν
=
𝑛²α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
.
(18.31)
Подставляя (18.31) в уравнение (18.30) и интегрируя его при 𝑇=const, мы для интенсивности излучения, выходящего из короны, снова приходим к формуле (18.15), в которой величина 𝑡ν⁰(𝑟) даётся формулой (18.29).