Решая приведённые уравнения, можно найти интенсивности излучения, выходящего из атмосферы. Сравнение теоретических и наблюдённых значений этих интенсивностей позволяет сделать заключения об оптических свойствах атмосферы, т.е. о величинах τ₀, λ, и 𝑥(γ).
В свою очередь по оптическим свойствам атмосферы можно судить о природе частиц, которые её составляют. Для этого используется теория рассеяния света на отдельных частицах (см., например, [4]). Эта теория, разработанная особенно подробно для шаровых частиц, определяет коэффициент поглощения α, альбедо частицы λ и индикатрису рассеяния 𝑥(γ) в зависимости от отношения радиуса частицы к длине волны излучения и от показателя преломления вещества частицы.
Заметим, что в случае рассеяния света молекулами индикатриса рассеяния определяется формулой Рэлея
𝑥(γ)
=
¾
(1+cos²γ)
.
(19.9)
Если же рассеяние света производится частицами, радиусы которых сравнимы с длиной волны излучения, то индикатриса рассеяния обычно оказывается сильно вытянутой вперёд.
2. Полубесконечная атмосфера.
Как уже сказано, атмосферы некоторых планет обладают оптической толщиной, превосходящей по порядку единицу. В этом случае при определении интенсивности излучения, диффузно отражённого атмосферой, приближённо можно считать τ₀=∞.
Сначала мы допустим, что в атмосфере происходит изотропное рассеяние света, т.е. 𝑥(γ)=1. Тогда величина 𝑆 будет функцией только от τ, а интенсивность излучения 𝐼 — функцией только от τ и θ. Поэтому уравнения (19.6) и (19.7) можно переписать в виде
μ
𝑑𝐼(τ,μ,μ₀)
𝑑τ
=
𝐼(τ,μ,μ₀)
-
𝑆(τ,μ₀)
,
(19.10)
𝑆(τ,μ₀)
=
λ
2
+1
∫
-1
𝐼(τ,μ,μ₀)
𝑑μ
+
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
,
(19.11)
где обозначено cos θ=μ, cos θ₀=μ₀ и подчёркнута зависимость величин 𝐼 и 𝑆 от параметра μ₀.
Из уравнений (19.10) и (19.11) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ,μ₀). Поступая так же, как при выводе уравнения (2.48), находим
𝑆(τ,μ₀)
=
λ
2
∞
∫
0
𝐸₁|τ-𝑡|
𝑆(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
+
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
,
(19.12)
где 𝐸₁ — первая интегральная показательная функция.
Если функция 𝑆(τ,μ₀) известна, то может быть легко определена и интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величина 𝐼(0,μ,μ₀). Полагая
𝐼(0,μ,μ₀)
=
𝐹ρ(μ,μ₀)
μ₀
,
(19.13)
имеем
ρ(μ,μ₀)
=
1
𝐹
∞
∫
0
𝑆(τ,μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μμ₀
.
(19.14)
Величина ρ(μ,μ₀) называется коэффициентом яркости или коэффициентом отражения атмосферы.
Интегральное уравнение (19.12) относится к уравнениям типа (3.1), подробно рассмотренным в § 3. В данном случае ядро уравнения (3.1) даётся формулой (3.17), в которой 𝐴(𝑥)=λ/2𝑥, 𝑎=1, 𝑏=∞, а свободный член имеет вид
𝑔(τ)
=
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
.
Пользуясь соотношениями (3.19) и (3.20), мы получаем для коэффициента яркости выражение
ρ(μ,μ₀)
=
λ
4
φ(μ) φ(μ₀)
μ-μ₀
,
(19.15)
в котором функция φ(μ) определяется уравнением
φ(μ)
=
1+
λ
2
μφ(μ)
1
∫
0
φ(μ')
μ+μ'
𝑑μ'
.
(19.16)
Как мы помним, функция φ(μ) уже встречалась в теории звёздных фотосфер (в § 3) и в теории образования звёздных спектров (в § 10). Теперь мы видим, что через ту же функцию выражается коэффициент яркости планетной атмосферы. Значения функции φ(μ) при разных значениях параметра λ приведены на стр. 119.
Соотношения (19.15) и (19.16) мы получили при помощи уравнения (19.12), однако В. А. Амбарцумян показал, что их можно также получить без использования этого уравнения, а именно — при помощи так называемого «принципа инвариантности». Согласно этому принципу отражательная способность полубесконечной среды не изменится, если к ней добавить некоторый слой с теми же оптическими свойствами. Добавляя к полубесконечной среде слой бесконечно малой оптической толщины, определяя все изменения в интенсивности излучения, вносимые этим слоем, и приравнивая их нулю, мы и приходим к указанным соотношениям (см. [1]).
При помощи принципа инвариантности был также найден коэффициент яркости при произвольной индикатрисе рассеяния. В виде примера приведём результат, полученный при простейшей несферической индикатрисе рассеяния
𝑥(γ)
=
1+
𝑥₁cos γ
,
(19.17)
где 𝑥₁ — некоторый параметр.
В данном случае коэффициент яркости определяется формулой
ρ(μ,μ₀,φ)
=
ρ₀(μ,μ₀)
+
ρ₁(μ,μ₀)
cos φ
,
(19.18)
а величины ρ₀(μ,μ₀) и ρ₁(μ,μ₀) имеют следующую структуру:
ρ₀(μ,μ₀)
=
λ
4
φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ₀)-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ₀)
μ+μ₀
,
(19.19)
ρ₁(μ,μ₀)
=
λ
4
𝑥₁
φ₁¹(μ) φ₁¹(μ₀)
μ+μ₀
.
(19.20)
В свою очередь вспомогательные функции φ₀⁰(μ) и φ₁⁰(μ) определяются из системы уравнений
φ₀⁰(μ)
=
1
+
+
λ
2
μ
1
∫
0
φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ')-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ')
μ-μ'
𝑑μ'
,
(19.21)
φ₁⁰(μ)
=
μ
-
-
λ
2
μ
1
∫
0
φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ')-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ')
μ-μ'
𝑑μ'
,
(19.22)
а вспомогательная функция φ₁¹(μ) — из уравнения
φ₁¹(μ)
=
√
1-μ²
+
+
λ
4
𝑥₁μ
φ₁¹(μ)
1
∫
0
φ₁¹(μ')
μ+μ'
√
1-μ'²
𝑑μ'
.
(19.23)
Функции φ₀⁰(μ), φ₁⁰(μ) и φ₁¹(μ) табулированы, так что вычисление коэффициента яркости по формулам (19.18) — (19.20) не составляет труда.
При сильно вытянутой индикатрисе рассеяния формулы для коэффициента отражения ρ(μ,μ₀,φ) становятся довольно сложными. В этом случае для его определения используются численные методы.