𝑆
(τ,μ₀)
=
𝑆(τ,μ₀)
+
2
𝐹
𝐼
(μ₀)
1
∫
0
𝑆(τ₀-τ,μ')
𝑑μ'
.
(19.52)
Умножая (19.52) на
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
,
интегрируя в пределах от нуля до τ₀ и пользуясь формулами (19.25), (19.26) и (19.49), получаем
ρ
(μ,μ₀)
=
ρ(μ,μ₀)
+
+
𝐼(μ₀)
𝐹(μ₀)
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ
⎞
⎟
⎠
+2
1
∫
0
σ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
⎤
⎥
⎦
.
(19.53)
Аналогично находим
σ
(μ,μ₀)
=
σ(μ,μ₀)
+
𝐼(μ₀)
𝐹(μ₀)
2
1
∫
0
ρ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
.
(19.54)
Для определения величины 𝐼(μ₀) умножим (19.54) на 2μ 𝑑μ и проинтегрируем в пределах от нуля до 1. При помощи (19.51) это даёт
𝐼
(μ₀)
=
𝐴
1-𝐴𝐶
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ₀
⎞
⎟
⎠
+2
1
∫
0
σ(μ,μ₀)
μ
𝑑μ
⎤
⎥
⎦
𝐹
μ₀
,
(19.55)
где обозначено
𝐶
=
4
1
∫
0
μ
𝑑μ
1
∫
0
ρ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
.
(19.56)
Вводя также обозначения
𝑀(μ)
=
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ
⎞
⎟
⎠
+
2
1
∫
0
σ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
,
(19.57)
𝑁(μ)
=
2
1
∫
0
ρ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
(19.58)
и подставляя (19.55) в (19.53) и (19.54), получаем
ρ
(μ,μ₀)
=
ρ(μ,μ₀)
+
𝐴
1-𝐴𝐶
𝑀(μ)
𝑀(μ₀)
,
(19.59)
σ
(μ,μ₀)
=
σ(μ,μ₀)
+
𝐴
1-𝐴𝐶
𝑁(μ)
𝑀(μ₀)
(19.60)
Таким образом, мы пришли к формулам, посредством которых коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) при 𝐴≠0 выражаются через коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) при 𝐴=0.
Входящие в формулы (19.59) и (19.60) величины 𝑀(μ) и 𝑁(μ) можно выразить через те же вспомогательные функции φ(μ) и ψ(μ), через которые раньше были выражены величины ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). При помощи формул (19.39) и (19.40), а также уравнений (19.41) и (19.42), находим
𝑀(μ)
=
⎛
⎜
⎝
1-
λ
2
α₀
⎞
⎟
⎠
ψ(μ)
+
λ
2
β₀
φ(μ)
,
(19.61)
𝑁(μ)
=
1-
⎛
⎜
⎝
1-
λ
2
α₀
⎞
⎟
⎠
φ(μ)
-
λ
2
β₀
ψ(μ)
,
(19.62)
где использованы обозначения
α
𝑖
1
∫
0
φ(μ)
μ
𝑖
𝑑μ
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
β
𝑖
1
∫
0
ψ(μ)
μ
𝑖
𝑑μ
,
(19.63)
т.е. α₀ и β₀ — нулевые моменты функций φ(μ) и ψ(μ).
Легко видеть, что величины 𝑁(μ₀) и 𝑁(μ₀) имеют простой физический смысл. Первая из них представляет собой отношение освещённости поверхности планеты к освещённости верхней границы атмосферы, а вторая — отношение освещённости верхней границы снизу к освещённости верхней границы сверху (при 𝐴=0).
5. Альбедо планеты.
Полученные выше формулы для интенсивности излучения, диффузно отражённого планетной атмосферой, позволяют легко определить альбедо планеты. Сначала мы найдём так называемое плоское альбедо, т.е. альбедо планеты в данном месте при определённом угле падения солнечных лучей на плоский слой, в виде которого представляется атмосфера. Очевидно, что поток излучения, выходящего из атмосферы, равен
2π
𝐹μ₀
1
∫
0
ρ
(μ,μ₀)
μ
𝑑μ
,
а поток солнечного излучения, падающего на атмосферу, равен π𝐹μ₀. Поэтому плоское альбедо, являющееся отношением указанных потоков, равно
𝐴₁(μ₀)
=
2
1
∫
0
ρ
(μ,μ₀)
μ
𝑑μ
.
(19.64)
Для вычисления величины 𝐴₁(μ₀) подставим в формулу (19.64) выражение (19.59). Учитывая при этом формулы (19.58) и (19.61), получаем
𝐴₁(μ₀)
=
𝑁(μ₀)
+
+
𝐴
1-𝐴𝐶
⎡
⎣
(2-λα₀)
β₁
+
λ
β₀
α₁
⎤
⎦
𝑀(μ₀)
,
(19.65)
где, как и раньше, 𝐴 — альбедо поверхности планеты, а α₁ и β₁ — первые моменты функций φ(μ) и ψ(μ). Как видно из формул (19.56), (19.58) и (19.62), величина 𝐶 равна
𝐶
=
1-
(2-λα₀)
α₁
-
λ
β₀
β₁
.
(19.66)
Отметим, что входящие в приведённые формулы величины α₀ и β₀ связаны между собой простым соотношением. Чтобы получить его, проинтегрируем уравнение (19.41) по μ в пределах от нуля до 1. В результате находим
α₀
=
1+
λ
2
1
∫
0
μ
𝑑μ
1
∫
0
φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')
μ+μ'
𝑑μ'
,
(19.67)
или, после замены
μ
μ+μ'
=
1-
μ'
μ+μ'
,
α₀
=
1+
λ
2
(α₀²+β₀²)
-
-
λ
2
1
∫
0
𝑑μ
1
∫
0
φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')
μ+μ'
μ'
𝑑μ'
.
(19.68)
Из двух последних формул и вытекает искомое соотношение:
α₀
=
1+
λ
4
(α₀²+β₀²)
.
(19.69)
Рассмотрим два частных случая формулы (19.65), определяющей плоское альбедо.
1. Допустим, что оптическая толщина атмосферы бесконечно велика (τ₀=∞). В этом случае функция φ(μ) определяется уравнением (19.16), а ψ(μ)=0. Поэтому формула (19.65) принимает вид
𝐴₁(μ₀)
=
1-
⎛
⎜
⎝
1-
λ
2
α₀
⎞
⎟
⎠
φ(μ₀)
.
(19.70)
Но из соотношения (19.69) в данном случае (т.е. при β₀) находим
α₀
=
λ
2
⎛