𝐸
𝑉
=
2𝐹
𝑅²
Δ²
π/2
∫
α-π/2
cos(α-ω)
cos
ω
𝑑ω
×
×
π/2
∫
0
ρ(μ,μ₀,φ)
cos³ψ
𝑑ψ
.
(20.2)
Очевидно, что освещённость Земли от Солнца равна 𝐸𝑇=π𝐹(𝑟₁/𝑟₂)², где 𝑟₁ — расстояние от Солнца до Венеры и 𝑟₁ — расстояние от Солнца до Земли, а 𝐸𝑉/𝐸𝑇=2,512𝑚☉-𝑚, где 𝑚☉ — звёздная величина Солнца. Поэтому получаем
2,512
𝑚☉-𝑚
=
2
π
⎛
⎜
⎝
𝑟₁𝑅
𝑟₁Δ
⎞²
⎟
⎠
π/2
∫
α-π/2
cos(α-ω)
cos
ω
𝑑ω
=
=
π/2
∫
0
ρ(μ,μ₀,φ)
cos³ψ
𝑑ψ
.
(20.3)
Соотношение (20.3) даёт искомую теоретическую зависимость 𝑚 от α, т.е. позволяет построить теоретическую кривую блеска планеты. В соотношение (20.3) надо подставить выражение для ρ(μ,μ₀,φ) и воспользоваться формулами (20.1). Так как коэффициент яркости ρ(μ,μ₀,φ) зависит от величин 𝑥(γ) и λ, то, сравнивая между собой теоретическую и наблюдённую кривые блеска, можно определить указанные величины. При этом следует также принять во внимание соотношение
1
2
π
∫
0
𝑥(γ)
sin
γ
𝑑γ
=
1,
(20.4)
выражающее собой условие нормировки индикатрисы рассеяния.
При определении теоретической кривой блеска удобно в выражении для ρ(μ,μ₀,φ) выделить член, учитывающий рассеяние первого порядка. В таком случае имеем
ρ(μ,μ₀,φ)
=
λ
4
𝑥(γ)
μ+μ₀
+
Δ
ρ(μ,μ₀,φ)
,
(20.5)
где γ=π-α и Δρ — член, учитывающий рассеяния высших порядков. Так как точное выражение для величины Δρ при произвольной индикатрисе рассеяния очень сложное, то мы определим эту величину приближённо, сохраняя в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра только два первых члена. Иными словами, величину Δρ найдём не для действительной индикатрисы рассеяния 𝑥(γ), а для индикатрисы рассеяния
𝑥(γ)
=
1
+
𝑥₁
cos
γ
,
(20.6)
где
𝑥₁
=
3
2
π
∫
0
𝑥(γ)
cos
γ
sin
γ
𝑑γ
.
(20.7)
Как было показано ранее, коэффициент яркости ρ(μ,μ₀,φ) при индикатрисе рассеяния вида (20.6) даётся формулами (19.18) — (19.20). Пользуясь ими, находим
Δ
ρ
=
λ
4
φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ₀)-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ₀)-1
μ+μ₀
+
+
λ𝑥₁
4
φ₁¹(μ)φ₁¹(μ₀)cos φ+cos α
μ+μ₀
,
(20.8)
где вспомогательные функции φ₀⁰(μ), φ₁⁰(μ) и φ₁¹(μ) определяются уравнениями (19.21) — (19.23). Как уже говорилось, эти функции табулированы. Заметим также, что при малой роли истинного поглощения в атмосфере (т.е. при значениях λ, близких к 1), из уравнений (19.21) и (19.22) могут быть получены следующие асимптотические формулы:
φ₀⁰(μ)
=
φ(μ)
⎛
⎜
⎝
1-3
⎧
⎪
⎩
1-λ
3-𝑥₁
⎫½
⎪
⎭
μ
⎞
⎟
⎠
,
(20.9)
φ₁⁰(μ)
=
φ(μ)
μ
⎧
⎪
⎩
3(1-λ)
3-𝑥₁
⎫½
⎪
⎭
,
(20.10)
где φ(μ) — функция, определяемая уравнением (19.16) при λ=1. Формулами (20.9) и (20.10) можно воспользоваться в случае Венеры, так как альбедо этой планеты весьма велико (порядка 0,7), а следовательно, величина 1-λ очень мала. При сферической индикатрисе рассеяния это видно из формулы (19.78), а при вытянутой вперёд индикатрисе рассеяния величина 1-λ будет ещё меньше.
Подставим теперь выражение (20.5) в соотношение (20.3). Результат этой подстановки можно записать в виде
𝑥(π-α)
ƒ(α)
+
𝑔(α)
=
ℎ(α)
,
(20.11)
где введены обозначения
ƒ(α)
=
1
4
π/2
∫
α-π/2
cos ω cos(α-ω)
cos ω+cos(α-ω)
𝑑ω
×
×
π/2
∫
0
cos²ψ
𝑑ψ
=
=
π
16
⎛
⎜
⎝
1-
sin
α
2
tg
α
2
ln ctg
α
4
⎞
⎟
⎠
,
(20.12)
𝑔(α)
=
π/2
∫
α-π/2
cos
ω
cos(α-ω)
𝑑ω
×
×
π/2
∫
0
Δ
ρ
cos³ψ
𝑑ψ
,
(20.13)
ℎ(α)
=
π
2
⎛
⎜
⎝
𝑟₁𝑅
𝑟₁Δ
⎞²
⎟
⎠
2,512
𝑚☉-𝑚
.
(20.14)
Левая часть соотношения (20.11) определяется теоретически, а правая зависит только от наблюдательных данных. Если эти данные известны, то, пользуясь соотношением (20.11), а также формулами (20.4) и (20.7), можно найти величины 𝑥(γ) и λ.
Зависимость функции ℎ(α) от угла фазы α обусловлена наблюдаемой кривой изменения блеска планеты. Эта кривая для Венеры определялась в ряде работ. Например, на основании данных Мюллера визуальная звёздная величина Венеры может быть представлена в виде
𝑚
=-
4,71
+
0,013
22α
+
0,000
000
425α³
(20.15)
в интервале от α=24° до α=156° при расстоянии Венеры от Земли, равном одной астрономической единице.
Определённая указанным способом индикатриса рассеяния в атмосфере Венеры приведена в табл. 25. При этом для величины 𝑚 было принято среднее из значений, полученных Мюллером и Данжоном. Для данной индикатрисы рассеяния величина 𝑥₁, определённая формулой (20.7) и характеризующая вытянутость индикатрисы рассеяния, оказалась равной 𝑥₁. Альбедо частицы в атмосфере Венеры получилось равным λ=0,987, т.е. очень близким к 1. В той же таблице для сравнения приведена индикатриса рассеяния в безоблачной атмосфере Земли (определённая способом, изложенным ниже).
Таблица 25
Индикатрисы рассеяния
в атмосферах Венеры и Земли
γ
Венера
Земля
15
9,20
3,30
30
2,80
1,90
45
1,22
1,30
60
0,53
0,94
75
0,26
0,75
90
0,18
0,64