1-
exp
⎛
⎜
⎝
-τ₀
⎧
⎪
⎩
1
+
1
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
ρ(μ,μ₀,φ)
=
λ
𝑥(γ)
μ
μ₀
+
4
μ+μ₀
+
Δ
ρ(μ,μ₀)
,
(20.20)
где, на основании формул (19.39) и (19.59),
Δ
ρ(μ,μ₀)
=
λ
4(μ+μ₀)
×
×
⎡
⎢
⎣
φ(μ)
φ(μ₀)
-
ψ(μ)
ψ(μ₀)
-1+
+
exp
⎛
⎜
⎝
-τ₀
⎧
⎪
⎩
1
μ
+
1
μ₀
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
+
𝐴
1-𝐴𝐶
𝑀(μ)
𝑀(μ₀)
.
(20.21)
Формула (20.20) может быть, в частности, применена для изучения Марса в период так называемых глобальных пылевых бурь, когда практически вся поверхность планеты затянута пылевыми облаками. Например, в 1971 г. пылевая буря на Марсе длилась примерно 4 месяца. В начальной и заключительной фазах развития пылевой бури оптическая толщина облаков в видимом участке спектра порядка единицы, в средней же фазе τ₀≫1 (подробнее см. [6]).
3. Атмосфера Земли.
Оптические свойства атмосферы Земли изучены чрезвычайно подробно. Однако здесь мы остановимся лишь на тех свойствах земной атмосферы, которые определяются на основе простейших фотометрических наблюдений и с помощью формул теории рассеяния света, приведённых в предыдущем параграфе.
Оптическая толщина земной атмосферы наиболее просто находится путём измерения интенсивности солнечного излучения, пропущенного атмосферой, при разных зенитных расстояниях Солнца. Указанная интенсивность определяется формулой
𝐼
=
𝐼₀
exp
⎛
⎝
-
τ₀
sec
θ₀
⎞
⎠
,
(20.22)
где 𝐼₀ — интенсивность солнечного излучения на верхней границе атмосферы. Для нахождения оптической толщины атмосферы τ₀ при помощи формулы (20.22) необходимы по крайней мере два измерения величины 𝐼 при разных зенитных расстояниях Солнца (чтобы исключить 𝐼₀). При ясном небе оптическая толщина атмосферы в видимой части спектра оказывается порядка 0,3, причём она возрастает с убыванием длины волны. Последнее обстоятельство, как известно, объясняет покраснение Солнца при приближении его к горизонту и голубой цвет неба. По отклонению изменения величины τ₀ с длиной волны от закона τ₀∼ν⁴ можно судить об относительной роли рассеяния света молекулами и крупными частицами в земной атмосфере.
Измерение распределения яркости по небу даёт возможность найти индикатрису рассеяния в атмосфере. Для этого мы должны воспользоваться формулой, определяющей интенсивность излучения, диффузно пропущенного атмосферой, или соответствующий ей коэффициент яркости σ(μ,μ₀,φ). Если учитывать лишь рассеяние первого порядка, то для нахождения величины σ(μ,μ₀,φ) надо подставить выражение (20.16) в соотношение (19.26). В результате имеем
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
⎞
⎟
⎠
-
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
⎞
⎟
⎠
σ(μ,μ₀,φ)
=
λ
𝑥(γ)
μ
μ₀
.
4
μ-μ₀
(20.23)
Рассеяние высших порядков может быть учтено так же, как в формуле (20.20), т.е. при сферической индикатрисе рассеяния. В таком случае вместо формулы (20.23) получаем
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
⎞
⎟
⎠
-
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
⎞
⎟
⎠
σ(μ,μ₀,φ)
=
λ
𝑥(γ)
μ
μ₀
+
4
μ-μ₀
+
Δ
σ(μ,μ₀)
,
(20.24)
где, как следует из формул (19.40) и (19.60),
Δ
σ(μ,μ₀)
=
λ
4(μ-μ₀)
⎡
⎢
⎣
ψ(μ)
φ(μ₀)
-
ψ(μ₀)
φ(μ)
-
-
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ
⎞
⎟
⎠
+
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ₀
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
+
𝐴
1-𝐴𝐶
𝑁(μ)
𝑀(μ₀)
.
(20.25)
Индикатриса рассеяния земной атмосферы, найденная указанным способом (при использовании несколько иной формулы для величины Δσ), приведена в последней строке табл. 25. В данном случае принималось, что λ=1. Значительное отличие полученной индикатрисы рассеяния от рэлеевской объясняется присутствием в атмосфере, наряду с молекулами, большого числа крупных частиц (пылинок, капель воды и т.д.).
Большой интерес представляет также определение оптических свойств облаков. При сплошной облачности можно считать, что рассеяние света происходит в плоском слое, оптическая толщина которого очень велика. В этом случае до наблюдателя, находящегося на земной поверхности, доходит лишь излучение, испытавшее очень большое число рассеяний. Поэтому нахождение оптических свойств облаков (характеризующих рассеяние света в элементарном объёме) встречает значительные трудности.
Применим к облачному небу в виде примера формулу (20.24). При τ₀≫1 первый член в правой части этой формулы пренебрежимо мал, а для второго члена можно получить простые асимптотические формулы (см. [3]). В частности, при λ=1 и 𝐴=0 имеем
σ(μ,μ₀)
=
1
4
φ(μ)φ(μ₀)
τ₀+𝑏
,
(20.26)
где φ(μ) — функция, определённая уравнением (19.16) (при λ=1), а 𝑏=2α₂/α₁, где α₁ и α₂ — первый и второй моменты этой функции. Вычисления дают 𝑏=1,42. Из формулы (20.26) видно, что относительное распределение яркости по облачному небу определяется функцией φ(μ), т.е.
𝐼(μ)
∼
φ(μ)
.
(20.27)
Как было показано в § 3, формулой (20.27) даётся и относительное распределение яркости по диску звезды. Полученный результат вполне понятен, так как в обоих случаях мы имеем дело с рассеянием света в среде, состоящей из плоскопараллельных слоёв, при источниках излучения, находящихся на очень большом оптическом расстоянии от границы.
Если 𝐴≠0 то для определения величины σ(μ,μ₀), нам надо найти функции 𝑀(μ) и 𝑁(μ). При λ=1, как видно из формул (19.61), (19.62) и (19.73),
𝑁(μ)
=
1-
𝑀(μ)
.
(20.28)
При τ₀≫1 подстановка (20.26) в (19.57) даёт
𝑀(μ)
=
φ(μ)
(τ₀+𝑏)√3
,
(20.29)
где принято во внимание, что α₁=2/√3 (см. § 3). Пользуясь формулами (19.56) и (19.58), а также двумя последними формулами, получаем