Бальмеровский квант беспрепятственно уходит из туманности. Что же касается Lα-кванта, то он также уходит из туманности, однако после длительного процесса диффузии.
Из сказанного вытекает, что из каждого поглощённого и переработанного туманностью кванта лаймановского континуума обязательно образуется один бальмеровский квант и один квант в линии Lα (а также может образоваться некоторое количество квантов в других субординатных сериях).
Мы сейчас будем считать, что оптическая толщина туманности за пределом серии Лаймана значительно больше единицы. В таком случае туманность будет поглощать и перерабатывать все 𝐿𝑐-кванты звезды. Поэтому в данном случае число излучаемых звездою 𝐿𝑐-квантов будет равно числу излучаемых туманностью бальмеровских квантов.
Таким образом, по свечению туманности в бальмеровской серии можно судить о свечении звезды за границей лаймановской серии. Сравнивая свечение туманности в бальмеровской серии со свечением звезды в видимой части спектра, мы, по существу, сравниваем свечение звезды в двух далёких друг от друга областях спектра (ультрафиолетовой и видимой). Поэтому из указанного сравнения может быть определена температура звезды.
Обозначим через 𝐼ν* среднюю интенсивность излучения, выходящего из звезды. Тогда число квантов, излучаемых звездой в интервале частот от ν до ν+𝑑ν, будет равно
4π𝑟
∗
²
π𝐼ν*
ℎν
𝑑ν
,
а значит, полное число испускаемых звездой 𝐿𝑐-квантов будет определяться формулой
𝑁
𝐿𝑐
*
=
4π𝑟
∗
²
∞
∫
ν₀
π𝐼ν*
ℎν
𝑑ν
,
(22.18)
где ν₀ — частота границы лаймановской серии.
С другой стороны, число бальмеровских квантов, излучаемых туманностью, равно
𝑁
Ba
=
∑
Ba
𝐸𝑖
ℎν𝑖
,
(22.19)
где 𝐸𝑖 — полная энергия, излучаемая туманностью в 𝑖-й бальмеровской линии, а ℎν𝑖 — энергия соответствующего кванта. Обозначим через 𝐸𝑖* энергию, излучаемую звездой в единичном интервале частот вблизи 𝑖-й бальмеровской линии, и составим безразмерные отношения
𝐴
𝑖
=
𝐸𝑖
ν𝑖𝐸𝑖*
,
(22.20)
которые могут быть определены из наблюдений. Подставляя (22.20 в (22.19) и учитывая, что
𝐸
𝑖
*
=
4π𝑟
∗
²
π𝐼
ν𝑖
*
,
(22.21)
получаем
𝑁
Ba
=
4π𝑟
∗
²
∑
Ba
𝐴
𝑖
π𝐼ν𝑖*
ℎ
.
(22.22)
В том случае, когда оптическая толщина туманности за границей серии Лаймана значительно превосходит единицу,
𝑁
Ba
=
𝑁
L𝑐
*
.
(22.23)
Поэтому при помощи формул (22.18) и (22.22) имеем
∞
∫
ν₀
𝐼
ν
*
𝑑ν
ν
=
∑
Ba
𝐴
𝑖
𝐼
ν𝑖
*
.
(22.24)
Будем считать, что интенсивность излучения 𝐼ν* даётся формулой Планка с температурой 𝑇∗. Тогда вместо (22.24) находим
∞
∫
ν₀
ν²
𝑑ν
=
∑
Ba
𝐴
𝑖
ν
𝑖
³
.
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
-1
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
-1
⎞
⎟
⎠
𝑘𝑇
∗
𝑘𝑇
∗
(22.25)
Сделав здесь подстановку
ℎν
𝑘𝑇∗
=
𝑥
,
ℎν𝑖
𝑘𝑇∗
=
𝑥
𝑖
,
ℎν₀
𝑘𝑇∗
=
𝑥₀
,
(22.26)
окончательно получаем
∞
∫
𝑥₀
𝑥² 𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
=
∑
Ba
𝐴
𝑖
𝑥𝑖³
𝑒𝑥𝑖-1
.
(22.27)
Суммирование в правой части этой формулы распространяется на все линии бальмеровской серии и на бальмеровский континуум.
Как уже сказано, величины 𝐴𝑖 должны быть найдены из наблюдений. После этого из формулы (22.27) может быть определена температура звезды 𝑇∗.
Изложенный метод определения температур звёзд был предложен Занстра. Он также применил этот метод к определению температур трёх ядер планетарных туманностей (NGC 6543, 6572, 7009). Оказалось, что температуры этих звёзд весьма высоки (39 000, 40 000 и 55 000 K соответственно).
При получении формулы (22.27) предполагалось, что вся энергия звезды в лаймановском континууме поглощается туманностью. Если это не так, то вместо формулы (22.27), мы, очевидно, имеем
∞
∫
𝑥₀
⎡
⎢
⎣
1-exp
⎧
⎪
⎩
-τ₀
⎛
⎜
⎝
𝑥₀
𝑥
⎞³
⎟
⎠
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑥² 𝑑𝑥
𝑒𝑥-1
=
∑
Ba
𝐴
𝑖
𝑥𝑖³
𝑒𝑥𝑖-1
,
(22.28)
где τ₀ — оптическая толщина туманности непосредственно за границей серии Лаймана. Здесь принято во внимание, что коэффициент поглощения водорода обратно пропорционален кубу частоты. При τ₀=∞ формула (22.28) переходит в формулу (22.27). Если для данной туманности τ₀≪1, а при определении температуры звезды мы пользуемся всё-таки формулой (22.27), то, как легко видеть, значение температуры получается ниже истинного.
Нахождение температуры звезды из уравнения (22.28) требует предварительного определения оптической толщины туманности τ₀, что представляет собой довольно трудную задачу. Иногда уравнение (22.28) применяют для определения величины τ₀, приняв для температуры звезды значение, полученное каким-либо другим способом.