⎪
⎪
⎪φ=φcl
⎫
⎬
⎭
.
(40.4б)
Константа в формуле (40.4а) содержит член
∫
∏
𝑑φ'(x) e
-(i/2)∫
𝑑x φ²(x)
det(∂²+m²)
½
,
где использовано обозначение
det(A
-½
)=exp
⎧
⎨
⎩
-1
2
Tr log A
⎫
⎬
⎭
.
Известно, что существуют такие квантовомеханические состояния системы, для которых классических траекторий не существует. Такая ситуация имеет место, например, при туннелировании через потенциальный барьер. Но метод приближения ВКБ можно распространить и на этот случай. Продемонстрируем это на типичном примере частицы, совершающей в одномерном пространстве движение в потенциале V(x). Волновая функция такой частицы в Приближении ВКБ имеет вид (см., например, [186])
ψ(x)=Ce
i𝓐(x)
,
(40.5)
гдe 𝓐- действие, вычисленное вдоль классической траектории, определяемой уравнением
½mẍ+V(x)=E.
Рис. 30. Потенциалы с несколькими минимумами: а — потенциал с двумя минимумами ; б — периодический потенциал.
Выберем потенциал, имеющий два минимума в точках x=x0 и x1 и обращающийся в этих точках в нуль (рис. 30, а). Если выполняется условие E>max V, движение из точки x0 в точку x1 разрешено, и, исходя из выражения (40.5), для волновой функции ψ можно вычислить амплитуду "рассеяния". Но если выполняется условие E<max V, корректное ВКБ-рассмотрение приводит к результату, согласно которому амплитуда перехода
⟨x
1
|x
0
⟩=Ce
i𝓐(x1,x0)
(40.7)
должна быть заменена амплитудой туннелирования
⟨x
1
|x
0
⟩=Ce
-𝓐(x2,x0)
(40.8)
где действие 𝓐 вычисляется не вдоль траекторий, определяемых уравнением (40.6), а вдоль траекторий, удовлетворяющих уравнению
-½mẍ+V(x)=E.
(40.9)
Мы видим, что для получения амплитуды туннелирования можно использовать ту же формулу, что и для амплитуды перехода, производя лишь формальную замену переменной t на it как в выражении для действия
𝓐=
∫
t(x1)
t(x0)
𝑑t L→i
𝓐
так и в уравнениях движения (40.6) - (40.9).
Выражения (40.5) и (40.8) не нормированы. Но их легко нормировать, разделив на амплитуду ⟨x0|x0⟩. Таким образом, можно заключить, что в квантовой теории поля амплитуда туннелирования в ведущем приближении выражается в виде
⟨Ψ
1
,t=+∞|Ψ
0
,t=-∞⟩
≈
C exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑑
4
x
ℒ
(
φ
cl
)
⎫
⎬
⎭
(40.10)
где φcl классическое решение евклидовых уравнений движения, т.е. уравнений движения, в которых проведена замена x0→ix4, где переменная x4 вещественна
Согласно обсуждению, проведенному в начале данного параграфа, выражение (40.10) можно рассматривать как ведущий член разложения точного выражения
⟨Ψ
1
,t=+∞|Ψ
0
,t=-∞⟩
=
N exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑑
4
x
ℒ
(
φ
cl
)
⎫
⎬
⎭
(40.11)
по степеням постоянной Планка ħ в окрестности классической траектории φcl.
Важное свойство состояний системы, находящейся в условиях, когда возможно туннелирование, заключается в следующем. В стационарных состояниях (в частности, в основном состоянии, которое должно быть отождествлено с вакуумом теории поля) система не локализована в одном из минимумов потенциала V, а распределяется между всеми минимумами. В случае КХД это будет показано на примере периодического потенциала, подобного потенциалу рис. 30, б.
§ 41. Формализм функциональных интегралов в квантовой хромодинамике; калибровочная инвариантность
Формализм, развитый в предыдущих параграфах, можно непосредственно применить к квантовой хромодинамике, если сначала рассмотреть вопрос о калибровочной инвариантности. Одна из возможностей состоит в том, чтобы выбрать физическую калибровку
u⋅B
a
(x)=0, u²≥0,
(41.1)
так что интегрирование в функциональном интеграле производится по полям B, удовлетворяющим условию (41.1). Теперь производящий функционал с точностью до произвольного нормировочного множителя N определяется в виде
Z=N
∫
(𝑑q)(𝑑
q
)(𝑑B)
∏
a,x
δ(u⋅B
a
(x)) exp i
∫
𝑑
4
x ℒ
u
,
(41.2)
где введены часто употребляемые в дальнейшем обозначения (𝑑q)≡Πx,ƒ,i,α𝑑qiƒα(x), (𝑑B)≡Πx,μa𝑑Bμa(x) и т.д., a ℒu - лагранжиан КХД, не содержащий членов, фиксирующих калибровку. Это все, что требуется, если мы хотим работать в физической калибровке. Но хотелось бы также распространить формализм функциональных интегралов и на другие типы калибровок, в частности на ковариантные калибровки. Калибровочные условия можно записать в виде
K
a
[B(x)]=0,
(41.3)
где K - функционал, фиксирующий калибровку. Например, лоренцева калибровка имеет вид
K
a
[B(x)]=∂
μ
B
μ
a
-φ
a
(x),
(41.4)
где поле φ представляет собой заданную функцию (в частности, можно взять φ=0).
Пусть T(θ) - калибровочное преобразование, задаваемое параметрами θ(x), а BT — поля, возникающие из полей B под действием этого калибровочного преобразования:
B
μ
Ta
(x)=B
μ
a
(x)+g
∑
ƒ
abc
θ
b
(x)B
μ
c
(x)-∂
μ
θ
a
(x)
(ср. с § 3). Величина