Δ
-1
K
[B]=
∫
∏
x,a
𝑑θ
a
(x)
∏
x,a
δ(K
a
[B
T
(x)])
(41.5)
при калибровочных преобразованиях не изменяется:
Δ
-1
K
[B
T
]=
Δ
-1
K
[B
T
].
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что элемент интегрирования Πx,a𝑑θa является калибровочно-инвариантной величиной. В случае инфинитезимальных преобразований (которые только и нужны) это очевидно, так как
T(θ)T(θ')=T(θ+θ')
Забудем на время о существовании кварков, роль которых при калибровочных преобразованиях вполне ясна. Выражение (41.2) можно переписать в виде
Z=N
∫
(𝑑B)(𝑑θ)
∏
δ(u⋅B
a
(x))
∏
δ(K
b
[B
T
)
Δ
K
[B
T
]e
i𝓐YM
,
(41.6)
где чисто янг-миллсовское действие
𝓐
YM
=-
1
4
∫
𝑑
4
x
∑
G
aμν
(x)G
μν
a
(x).
Предположим, что в выражении (41.6) производится замена переменной, вызванная калибровочным преобразованием вида
B(x)→B
T0
(x),
где преобразование T0 выбрано равным T-1. При такой замене переменных получаем
Z=N
∫
(𝑑B)(𝑑θ)
Δ
K
[B]
∏
δ(u⋅B
T0a
(y))
∏
δ(K[B(y)]) e
i𝓐YM
.
Пусть поля Bu являются глюонными полями, удовлетворяющими условию (41.1). Поле BT0 можно найти, производя калибровочное преобразование U(θu). Тогда имеем
δ(u⋅B
T0
)=δ(u⋅B
uU
),
и, таким образом, выполняется соотношение
∫
(𝑑θ)
∏
δ(u⋅B
T0a
(y))=
∫
(𝑑θ)
∏
δ(-u⋅∂
μ
θ
ua
(y)),
которое не зависит от значений полей B и, следовательно, может быть включено в нормировочный множитель N. Для производящего функционала получаем
Z=N'
∫
(𝑑B)
Δ
K
[B]
∏
δ(K[B]) e
i𝓐YM
.
(41.7)
Теперь необходимо устранить δ-функцию и вычислить множитель ΔK. Для Устранения δ-функции выберем, например, лоренцеву калибровку (41.4); интегрируя выражение (41.7) по 𝑑φ с весом
exp
⎧
⎨
⎩
-iλ
2
∫
𝑑
4
x [φ
a
(x)]
2
⎫
⎬
⎭
,
в левой части получаем производящий функционал Z, умноженный на не зависящий от полей B фактор
∫
(𝑑φ) exp
⎧
⎨
⎩
-iλ
2
∫
𝑑
4
x [φ
a
(x)]
2
⎫
⎬
⎭
,
который снова можно включить в нормировочный множитель N', а в правой части интегрирование по полям 𝑑φ тривиально выполняется с помощью δ-функции. Таким образом, для производящего функционала получаем
Z=N''
∫
(𝑑B)
Δ
K
[B] e
i(𝓐YM+𝓐GF)
,
(41.8)
где фиксирующее калибровку действие имеет вид
𝓐
GF
=
-λ
2
∫
𝑑
4
x [∂
μ
B
μ
a
(x)]².
Обратимся к множителю ΔK. Благодаря формуле (41.7) нам необходимы только такие функции B, описывающие глюонные поля, которые удовлетворяют условию (41.3). Для инфинитезимальных значений параметров θ калибровочного преобразования имеем K[BT]=K[B]+(δK/δB)δB∼(δK/δB)δB, δB=BT-B, так что
Δ
-1
K
[B]=
∫
(𝑑θ)
∏
δ
⎧
⎪
⎩
δ(∂Ba)
δB
μ
b
(∂
μ
θ
b
-g∑ƒ
bcd
B
μ
a
θ
c
)
⎫
⎪
⎭
.
Этой формуле можно придать более удобный вид, вводя ду́хи Фаддеева - Попова, представленные актикоммутирующими c -числовыми функциями ω и ω. Тогда, выделяя не зависящий от полей B и ω нормировочный множитель N, величину ΔK можно представить в виде
Δ
K
[B]
=
N
∫
(𝑑ω)(𝑑
ω
)
×
exp
⎧
⎨
⎩
-i
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
ω
a
(y)
δ(∂Ba)
δB
μ
b
×
⎡
⎢
⎣
∂
μ
ω
b
(x)-g∑ƒ
bcd
B
μ
d
ω
c
(x)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
.
41.9
Доказательство этого выражения основано на формуле
∫
∏
i
𝑑c
i
∏
j
𝑑
c
j
e
∑ckAkk'ck'
=(constant)det A,
которая справедлива52а) для антикоммутирующих c-чисел cj, и на том факте, что вследствие равенства
52а) Для доказательства используем соотношение ∫
N0
∏
i=1 𝑑ci
N0
∏
j=1 𝑑cj e∑ckAkk'ck = ∫
N0
∏
i=1 𝑑ci