B
σ
a
(x)-∂
σ
B
ρ
a
(x)
⎤
⎦
⎡
⎣
∂
ρ
B
aσ
(x)-∂B
aρ
(x)
⎤
⎦
-
a-1
2
∑
⎡
⎣
∂
τ
B
τ
a
(x)
⎤²
⎦
=
1
2
∑
B
σ
a
(x)
⎡
⎣
∂²B
aσ
(x)-(1-a
-1
∂
σ
∂
ρ
B
aρ
(x)
⎤
⎦
+∂
μ
ƒ
μ
=
1
2
∑
a,b
B
aσ
(x)(K
-1
)
σρ
ab
B
bρ
(x)+∂
μ
ƒ
μ
,
где множитель K имеет вид
(K
-1
)
σρ
ab
=
δ
ab
⎧
⎨
⎩
g
σρ
∂²
∂x²
-(1-a
-1
)
∂
∂xσ
∂
∂xρ
⎫
⎬
⎭
.
(42.2)
Полагая теперь источники η, η, ξ, ξ, константу взаимодействия g в формулах (41.11) равными нулю, для производящего функционала получаем
Z
=
∫
(𝑑q)(𝑑
q
)
(𝑑ω)(𝑑
ω
)
(𝑑B)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
i
q
(x)
(x)+
1
2
∑
B
aσ
(x)
(K
-1
)
σρ
ab
B
bρ
(x)
+
∑
λ
aμ
(x)B
μ
a
(x)
⎫
⎬
⎭
.
(42.3)
Интегралы по переменным q, q, ω и ω приводят к константе, которая сокращается при вычислении логарифмической производной. Если провести замену переменной
B→B'=K
-½
B,
то формула (42.3) примет вид
Z
=
(constant)
∫
(𝑑B')J(K)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
∑
⎧
⎨
⎩
1
2
B''
aμ
(x)B''
μ
a
(x)-
λ
aμ
(x)(Kλ)
μ
a
(x)
⎫
⎬
⎭
.
где J(K) — якобиан преобразования. Наконец, заменим переменную интегрирования
B'→B''=B'+K
½
λ,
так что производящий функционал теперь описывается формулой
Z
=
(constant)
∫
(𝑑B'')J(K)
×
exp i
∫
(𝑑
4
x
∑
⎧
⎨
⎩
1
2
B''
aμ
(x)B''
μ
a
(x-)
1
2
λ
aμ
(x)(Kλ)
μ
a
(x)
⎫
⎬
⎭
.
(42.4а)
Множитель K удобно представить в интегральной форме
(Kƒ)
μ
a
(x)=-i
∑
∫
𝑑
4
y D
μν
ab
(x-y)ƒ
bν
(y);
(42.4б)
тогда для логарифмической производной производящего функционала получаем
δ2log Z
δλaμ(x)δλbν(y)
⎪
⎪
⎪
sources=0
g=0
=-D
μν
ab
(x-t).
Форма пропагатора D следует из его определения. Она такова, что выполняется соотношение
～
(K-1ƒ')
μ
(x)=
∑
δ
ab
{g
μν
∂²-(1-a
-1
)∂
μ
∂
ν
}ƒ'
bν
(x);
поэтому, проводя фурье-преобразование, обозначенное тильдой над соответствующей величиной, получаем
(K
-1
ƒ')
μ
a
(k)=
∑
δ
ab
{-g
μν
k²+(1-a
-1
)k
μ
k
ν
}ƒ̃'
bν
(k);
отсюда, полагая
～
Kƒ'
=ƒ,
сразу получаем результат
～
(Kƒ)
μ
a
(a)=
∑
δ
ab
-gμν+(1-a)kμkν/k2
k2
ƒ̃
bν
(k).
Таким образом, как и ожидалось, пропагатор глюонного поля имеет вид
⟨TB̃
μ
a
(x)B̃
ν
a
(y)⟩
0
|
g=0
=
D
μν
ab
(x-y)
=
δ
ab
i
(2π)4
∫
𝑑
4
k
e
-ik⋅(x-y)
-gμν+(1-a)kμkν/k2
k2
a
=
λ
-1
.
(42.5)
Доказательство того, что обход полюсов в выражении (42.5) задается добавкой +i0, требует либо рассмотрения асимптотических состояний, либо каких-нибудь других граничных условий на глюонный пропагатор. Эти условия можно найти в работе [112].
Для получения вершины взаимодействия ду́хов с глюонами требуется рассмотреть величину
⟨T
ω̂