a
(x
1
)ω̂
b
(x
2
)B̂
μ
c
(x
3
)⟩
0
⎪
⎪
⎪1-й порядок по g
=
=
iδ3log Z
δηa(x1)δηb(x2)δλcμ(x3)
⎪λ=0
⎪
⎪1-й порядок по g
(42.6)
Обозначим через k оператор Клейна - Гордона, задаваемый соотношением kƒ(x)=∂²ƒ(x)53а). Произведем замену переменных B→B'=K-½B, ω→ω'=K-½ω, ω→ω'=K-½ω и проинтегрируем по кварковым полям, которые в данном рассмотрении не играют роли. Тогда для производящего функционала Z получаем
53а) Обычно этот оператор называется оператором Даламбера. — Прим. перев.
Z
=
(constant)
∫
(𝑑ω')(𝑑
ω
')(𝑑B')J(k)J(k)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
∑
⎧
⎨
⎩
g
⎡
⎣
∂
μ
(k
½
ω
')
a
(x)
⎤
⎦
ƒ
abc
(K
½
B')
μ
c
(x)(k
½
ω')
b
(x)
+
½B'
2
-
ω
'ω+
η
(x)(k
½
ω')
a
(x)
+
(k
½
ω
')
a
(x)η
a
(x)+λ
μ
a
(x)(K
½
B')
aμ
(x)+…
⎫
⎬
⎭
,
где многоточие обозначает члены, обращающиеся в нуль при g²=0 и нулевых значениях источников. Произведем затем преобразования переменных
B'→B''=B'-K
½
λ,
ω→ω''=ω'+k
½
η,
ω
→
ω
''=
ω
'+k
½
η
.
Единственный член, дающий вклад в рассматриваемую вершину, содержит произведение всех трех источников и имеет вид
g
∑
(∂
μ
(k
η
)
a
(x))ƒ
abc
(Kλ)
μ
c
(x)(kη)
b
(x);
таким образом, для вершины взаимодействия ду́хов и глюонов получаем формулу
⟨T
ω
̂
a
(x
1
)ω̂
b
(x
2
)B̂
μ
c
(x
3
)⟩
0
⎪
⎪
⎪1-й порядок по g
=
∫
𝑑4p1
(2π)4
e
-ix1⋅p1
i
p
2
1
∫
𝑑4p2
(2π)4
e
-ix2⋅p2
i
p
2
2
∫
𝑑4p3
(2π)4
e
-ix3⋅p3
×
i
-g
μν
+(1-λ
-1
)p
μ
3
p
ν
3
/p
2
3
p
2
3
(2π)
4
δ(p
1
+p
2
+p
3
)gƒ
cba
p
1ν
снова в полном соответствии с ожидаемым результатом.
Наконец, рассмотрим вершину
⟨T
q
̂
1
(x
1
)N̂
μ1…μn
NS
(x
2
)q̂
2
(x
3
)⟩
0
(42.7)
в нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия g, где операторы N (см. § 19) имеют вид
N̂
μ1…μn
NS
(x)
=
½i
n-1
𝚂
:
q
̂
2
(x)γ
μ1
D̂
μ2
…D̂
μn
q̂
1
(x):
-
члены, содержащие свертки
(42.8)
Чтобы вычислить величину (42.7), введем в выражение (41.11) новый источник
j
μ1…μn
N
μ1…μn
NS
(x),
так что
⟨T
q
̂
1
(x
1
)N̂
μ1…μn
NS
(x
2
)q̂
2
(x
3
)⟩
0
=
iδ3log Z
δξ1(x1)δξ2(x3)δjμ1…μn(x2)
⎪
⎪
⎪
g=0
источники=0
(42.9)
В нулевом порядке по константе взаимодействия g глюоны или ду́хи никакой роли не играют, и по ним можно провести интегрирование. Аналогично ковариантные производные оператора N можно заменить обычными производными.
Кварковые поля рассматриваются так же, как поля глюонов или ду́хов. Используя определения
q'
ƒ
=S
½
q
ƒ
,
q
'
ƒ
q
ƒ
S
-½
, ƒ=1,2,
где матрица S задается соотношениями
S
-1
q
ƒ
(x)=
q
ƒ
(x),
q
ƒ
(x)
S
-1
=
q
ƒ
(x)
,
находим, что в нулевом порядке по константе связи g производящий функционал описывается выражением