Z
=
(constant)
∫
(𝑑q)(𝑑
q
)J(S)J(
S
)
×
exp i
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
q
'
1
q'
1
+
q
'
2
q'
2
+
ξ
1
S
½
q'
1
+
ξ
2
S
½
q'
2
+
(
q
'
1
S
½
)ξ+(
q
'
2
S
½
)ξ
2
+(
S
½
N
'μ1…μn
NS
S
½
)j
μ1…μn
⎫
⎬
⎭
.
(42.10)
Проведем замену переменных
q''
ƒ
=q'
'ƒ
+s
½
ξ
ƒ
,
Единственный член, содержащий все три источника ξ1, ξ2 и j имеет вид
S
N
μ1…μ1
NS
Sj
μ1…μ1
≡
½i
i-1
⎧
⎨
⎩
𝚂(
ξ
1
S
-1
(x)γ
μ1
⃗
∂
μ1
…
⃗
∂
μn
(S
-1
ξ
1
)(x)-свертки
⎫
⎬
⎭
j
μ1
…μ
n
(x)
так что, используя явное выражение для матрицы S, получаем
⟨T
q
̂
1
(x
1
)N̂
μ1…μn
NS
(x
2
)q̂
2
(x
3
)⟩
0
=
∫
𝑑4p2
(2π)4
e
-ip2⋅x2
∫
𝑑4p1
(2π)4
e
-ip1⋅x1
i
1
2
⎧
⎨
⎩
𝚂γ
μ1
p
μ2
3
…p
μn
3
-свертки
⎫
⎬
⎭
×
∫
𝑑4p3
(2π)4
e
-ip3⋅x3
i
p3
(2π)
4
δ(p
1
+p
2
-p
3
).
Полученную формулу можно упростить, введя вектор Δμ, удовлетворяющий условию Δ²=0, и свернув его с выражением (42.11):
Δ
μ1
…
Δ
μn
⟨T
q
̂
1
(x
1
)N̂
μ1…μn
NS
(x
2
)q̂
2
(x
3
)⟩
0
=
∫
𝑑4p2
(2π)4
e
-ip2⋅x2
∫
𝑑4p1
(2π)4
e
-ip1⋅x1
i
(
Δ
⋅
3
)
n-1
∫
𝑑4p3
(2π)4
e
-ip3⋅x3
i
×
(2π)
4
δ(p
1
+p
2
-p
3
).
(42.12)
Результат автоматически оказывается симметричным по индексам; члены, содержащие следы от произведений векторов Δμ (члены вида gμμ'ΔμΔμ'), обращаются в нуль. Конечно, вершину можно восстановить дифференцированием полученного результата по компонентам векторов Δ(∂/∂Δμ1)…(∂/∂Δμn). Уравнение (42.12) приводит к фейнмановским правилам диаграммной техники, приведенным в приложении Д и используемым в § 20.
§43. Евклидова формулировка квантовой хромодинамики
Рассмотрим тензор энергии-импульса для чисто янг-миллсовской КХД, описываемый выражением (10.2). Вклад кварковых полей в этот тензор не включается; вообще кварки не имеют отношения к вопросам, рассматриваемым в этом и следующих двух параграфах. Выражение для чисто янг-миллсовского тензора энергии-импульса можно записать в виде
Θ
μν
=-
1
2
g
αβ
∑
a
G
μα
a
G
νβ
a
-
1
2
g
αβ
∑
a
G
̃
μα
a
G
̃
νβ
a
.
(43.1)
Отсюда следует, что нулевая компонента Θ00 для реальных глюонных полей положительна:
Θ
00
=
1
2
∑
k,a
⎧
⎨
⎩
(G
0k
a
)²+(G
̃
0k
a
)²
⎫
⎬
⎭
.
(43.2)
Таким образом, условие Θμν=0 выполняется только в том случае, когда G≡0 и, следовательно, с вакуумом можно отождествить только состояние, в котором отсутствуют глюонные поля. Но выражение (43.2) не обладает определенным знаком, если допустить, что тензор глюонного поля Gμν может принимать комплексные значения. Особенно важен случай, когда комплексный тензор Gμν определенный в пространстве Минковского, соответствует вещественному тензору глюонных полей Gμν, определенному в евклидовом пространстве-времени. Как обсуждалось в конце § 40, такая ситуация свидетельствует о возможном туннельном переходе. Это является основанием для того, чтобы искать решения уравнений КХД в евклидовом пространстве53б).