53б) Такая процедура обычно называется евклидовой формулировкой КХД или евклидовой формулировкой теории поля. Величины, определяемые в евклидовом пространстве-времени, мы будем отличать от соответствующих величин, определенных в пространстве Минковского, подчеркивая их снизу. Кроме того, суммы по повторяющимся пространственно-временным индексам мы будем выписывать в явном виде.
Другая причина заключается в том, что в пространстве Минковского
∼
∼
G
μν
a
=-G
μν
a
,
поэтому дуальными
G
̃
=±G.
(43.3)
могут быть только тривиальные полевые конфигурации G=0. (Если в правой части равенства (43.3) стоит знак +, то говорят, что тензор G самодуален, если знак -, то тензор G антидуален.) В евклидовом же пространстве справедливо равенство
∼
∼
G
=±G
.
так что могут существовать и в действительности существуют нетривиальные дуальные полевые конфигурации G. Кроме того, дуальные евклидовы поля G автоматически удовлетворяют уравнениям движения. Это происходит по следующим причинам: уравнения движения для глюонных полей имеют вид (вспомним уравнение (3.6))
D
μ
G
μν
a
≡
∂
ν
G
μν
a
g
∑
ƒ
abc
B
bμ
G
μν
c
=0;
(43.4)
условие
D
μ
G
̃
μν
a
=0
(43.5)
представляет собой не что иное, как тождество Бьянки, которому удовлетворяет любой тензор G=D×B, независимо от того, является или нет поле B решением уравнений движения. Но если тензор G дуален, то, как показано в работе [ 219], из (43.5) следует соотношение (43.4).
Связь с проблемой вакуума возникает в силу того, что в евклидовом пространстве формула (43.1) для тензора энергии-импульса янг-миллсовских полей заменяется выражением вида
Θ
μν
=-
1
2
∑
a,λ
⎧
⎨
⎩
G
a
μλ
G
a
νλ
-
G
̃
a
μλ
G
̃
a
νλ
⎫
⎬
⎭
,
(43.6)
которое в случае дуальных полевых конфигураций обращается в нуль: μν=0. Таким образом, дуальные поля G могут соответствовать нетривиальным вакуумным состояниям.
Другое свойство дуальных полей состоит в том, что они должны удовлетворять условию минимума евклидова действия, для которого можно написать
𝓐
=
1
4
∫
𝑑
4
x
∑
G
a
μν
G
a
μν
=
1
4
∑
∫
𝑑
4
x
⎧
⎨
⎩
1
2
(
G
a
μν
±
G
̃
a
μν
)²±
G
a
μν
G
̃
a
μν
⎫
⎬
⎭
≥
1
4
⎪
⎪
⎪
∫
𝑑
4
x
∑
GG
̃
⎪
⎪
⎪
.
(43.7)
Таким образом, действие является положительно определенной величиной, достигающей минимума в случае дуальных полей, когда справедливо равенство
𝓐
=
1
4
⎪
⎪
⎪
∫
𝑑
4
x
∑
G
a
μν
G
̃
a
μν
⎪
⎪
⎪
=
1
4
∫
𝑑
4
x
∑
μ,ν,a
(
G
a
μν
)².
(43.8)
Но по крайней мере в условиях, когда справедливо квазиклассическое ВКБ-приближение, известно, что амплитуда туннелирования определяется величиной exp(-𝓐), поэтому в ведущем порядке эффект туннелирования, если он существует, определяется дуальными полевыми конфигурациями.
Мы уже упоминали о "нетривиальных вакуумных состояниях". Нетрудно убедиться, что существуют такие ненулевые значения глюонных полей B, для которых G=0. В самом деле, поля общего вида, удовлетворяющие этому условию, называются чистой калибровкой; их можно получить из тривиальных полевых конфигураций B=0 калибровочными преобразованиями. Чтобы убедиться в этом, запишем конечное калибровочное преобразование в виде
B
μ
a
(x)
→
B'
μ
a
(x)=2Tr t
a
U
-1
(x)t
b
U(x)B
μ
b
(x)
-
2
ig
Tr t
a
U
-1
(x)∂
μ
U(x)
(43.9)
(ср. с формулой (3.1)). Здесь U(x) - любая зависящая от пространственно-временной точки x матрица, удовлетворяющая условиям U+(x)=U-1(x), det U(x)=1. Но если B=0, то преобразованное поле B' имеет вид
B'
μ
a
(x)=-
2
ig
Tr t
a
U
-1
(x)∂
μ
U(x).
(43.10)
Калибровочная инвариантность тензора напряженности глюонных полей Gμνa обеспечивает равенство G'μν=Gμν=0. Нетривиальными будут решения, для которых G≠0.
§ 44. Инстантоны
Будем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.