Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия
lim
x→∞
|x|²
G
μν
(x)=0,
(44.1)
где евклидова длина определяется формулой
|x|≡+
⎧
⎨
⎩
4
∑
μ=1
(x
μ
)
2
⎫½
⎬
⎭
.
Пусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх3, для которой det U=1 и det U-1=U+. Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях x глюонное поле B представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом,
B
μ
a
→
|x|→∞
-2
ig
Tr t
a
U
-1
(x)∂
μ
U(x)
B
μν
a
→
|x|→∞
0,
(44.2)
Попробуем рассмотреть анзац
B
a
μ
=φ(|x|²)
B
́
a
μ
,
B
́
a
μ
=
-2
ig
Tr t
a
U
-1
∂
μ
U, φ
→
|x|→∞
1.
(44.3)
Поучительно проверить, что тензор напряженностей Ǵ, соответствующий полям B́, равен нулю. С этой целью определим матрицы
ℬ
μ
≡t
a
B
a
μ
,
𝒢
μν
≡t
a
G
a
μν
.
(44.4а)
Очевидно, справедливы соотношения
B
a
μ
=2Tr t
a
ℬ
μ
,
G
a
μν
=2Tr t
a
𝒢
μν
,
(44.4б)
𝒢
μν
=∂
μ
ℬ
ν
-∂
ν
ℬ
μ
-ig[
ℬ
μ
,
ℬ
ν
].
(44.4в)
Соотношения (44.4) справедливы, конечно, и в пространстве Минковского. Но если поле B описывается формулами (44.3), то оно имеет асимптотику
ℬ
μ
≃
|x|→∞
-
1
ig
U
-1
∂
μ
U,
(44.5)
так что
𝒢
μν
≃
x→∞
1
-ig
{∂
μ
(U
-1
∂
ν
U)-∂
ν
(U
-1
∂
μ
U)}
-
-ig
⎧
⎩
1
-ig
⎫²
⎭
[U
-1
∂
μ
U,U
-1
∂
ν
U]
=
1
-ig
{-U
-1
(∂
μ
U)U
-1
(∂
ν
U)
+U
-1
(∂
ν
U)U
-1
(∂
μ
U)
+
1
-ig
[U
-1
∂
μ
U,U
-1
∂
ν
U]=0 .
Заметим, что члены второго и четвертого порядка по матрице U сокращают друг друга; множитель 1/g оказывается существенным в силу нелинейности тензора G. Это отражает непертурбативный характер решений.
Если U представляет собой элемент группы, который можно непрерывным образом связать с тождественным преобразованием, то тензор 𝒢 обращается в нуль не только асимптотически: 𝒢=0. Поэтому необходимо рассмотреть такую матрицу U, которую нельзя представить в простой форме exp[itθ(x)]. Единственная возможность состоит в объединении пространственно-временны́х и цветовых индексов. Это оказывается допустимым только благодаря тому, что размерность пространства-времени равна четырем. Соответствующей группой инвариантности является группа SO(4), алгебра Ли которой (ее комплексная алгебра Ли) изоморфна произведению двух алгебр Ли группы SU(2). Таким образом, группу SO(4) можно связать с подгруппой SU(2) цветовой группы SU(3). Поэтому будем искать матрицу U в виде
U=
⎧
⎩
u
0
0
1
⎫
⎭
,
где u - матрица SU(2) размерности 2x2. Пусть
σ
4
=
⎧
⎩
1
0
0
1
⎫
⎭
,
- единичная матрица, а σi - матрицы Паули. Любую матрицу размерности 2x2 можно записать в виде суммы A=∑aμσμ. Если ввести обозначения âi=-ai, â4=â4, то легко убедиться в справедливости равенств
⎧
⎩
∑
a
μ
σ
μ
⎫
⎭
⎧
⎩
∑
â
μ
σ
μ
⎫
⎭
=
∑
a
μ
â
μ
и
det A=
∑
a
μ
â
μ
;
таким образом, мы получаем, что матрицу общего вида u можно записать в виде
u
ƒ
=
1
|ƒ(x)|
{σ
4
ƒ
4
(x)+i
⃗
σ
⃗
ƒ(x)}, ƒ
(x)
вещественно.