(44.6)
Полагая ƒμ(x)=xμ, получаем простейшее решение
u(x)=
1
|x|
(σ
4
x
4
+i
⃗
σ
⃗
x).
(44.7а)
Пространственно-временные и цветовые индексы нетривиальным образом связаны друг с другом, поэтому для матрицы u нельзя использовать представление u(x)=exp[(i/2)⃗σ⃗θ(x)]. Как отмечалось выше, попытаемся представить глюонные поля в виде53в)
53в) Анзацы общего вида предложены в работах [78,266].
ℬ
μ
(x)
=
φ(|x|²)
ℬ
̂
μ
(x),
ℬ
̂
μ
(x)
=
1
-ig
U
-1
(x)∂
μ
U(x),
U
=
⎧
⎩
u
0
0
1
⎫
⎭
.
(44.7б)
Полезно вспомнить, что, так как поле ℬ̂ является чистой калибровкой, отвечающее ему значение тензора напряженностей глюонных полей 𝒢̂ равно нулю, поэтому
𝒢
μν
=
∂
μ
ℬ
ν
-∂
ν
ℬ
μ
-ig[
ℬ
μ
,
ℬ
ν
]
=
(∂
μ
φ)
ℬ
̂
ν
-(∂
ν
φ)
ℬ
̂
μ
+φ(∂
μ
ℬ
̂
ν
-∂
ν
ℬ
̂
μ
)
-igφ²[
ℬ
̂
μ
,
ℬ
̂
ν
]
=
2φ'{x
μ
ℬ
̂
ν
-x
ν
ℬ
̂
μ
}
+(φ-φ²)
{∂
μ
ℬ
̂
ν
-∂
ν
ℬ
̂
μ
};
φ'
=
𝑑φ(|x|²)
𝑑|x|²
.
Проще всего его получить, если заметить, что
B
̂
a
μ
=-(2/g|x|²)
∑
η
a
ρμ
x
ρ
,
где тензор η приведен ниже. Тогда
G
a
μν
=
4i²
|x|²g
⎧
⎪
⎩
φ'-
φ-φ²
|x|²
⎫
⎪
⎭
∑
ρ
(η
a
ρν
x
ρ
x
μ
-η
a
ρμ
x
ρ
x
ν
)
+
4i²
|x|²g
(φ-φ²)η
a
μν
.
Смешанный тензор η определяется выражением
η
a
αβ
=
⎧
⎨
⎩
εaαβ4+δα4δaβ-δβ4δaα ,
0,
a=1,2,3
a=4,…,8.
(44.8)
Отметим, что этот тензор самодуален: ηαβ=η̃αβ; следовательно, условие самодуальности тензора G выполняется в том случае, если функпия φ удовлетворяет уравнению
φ'-
φ-φ²
|x|²
=0,
т.е. глюонное поле ℬμ(x) имеет вид
ℬ
μ
(x)
=
|x|²
|x|²+λ²
⋅
1
-ig
U
-1
(x)∂
μ
U(x), λ произвольно.
(44.9)
Это и есть инстатонное решение, найденное в работе [35]. Отметим, что оно локализовано в окрестности x≈0, т.е. в пространстве и во времени (отсюда и название "инстантон" - мгновенный). Из выражения (44.9) заменой x→x-γ можно получить решения, локализованные в окрестности произвольной пространственно-временной точки x≈y. В дальнейшем это окажется полезным. Выражению (44.9) можно придать большую наглядность, подставив в него выражение для матрицы U при этом мы найдем, что поле B вещественно:
B
a
μ
=
1
g
⋅
-2
|x|²+λ²
∑
ρ
η
a
ρμ
x
ρ
.
(44.10)
Из вида тензора η ц следует связь между пространственно-временными и цветовыми преобразованиями. Соответствующий тензор напряженностей имеет вид
G
a
μν
(x)=
1
g
⋅
-4λ²η
a
μν
(|x|²+λ²)
2
.
(44.11)
Как и следовало ожидать, глюонные поля B и тензор напряженностей G при продолжении их в пространство Минковского оказываются сингулярными (и комплексными!) величинами, так как интервал x² не является уже положительно определенным, а следовательно, знаменатель x²+λ² может обращаться в нуль. Замечательная особенность инстантонных решений состоит в том, что если глюонное поле B при больших x имеет асимптотику B≈1/|x|, то вследствие сокращения большого числа различных членов, входящих в выражение для тензора напряженностей G, последний обладает поведением G≈1/|x|4 и, таким образом, удовлетворяет требованию (44.1).
В дальнейшем мы будем использовать только решение (44.9); но имеются и другие решения53г), найденные в работах [35, 66, 86]. Оказалось, что существует точная симметрия между самодуальными и антидуальными решениями: в антидуальных решениях, соответствующих (44.10), используется тензор
53г) Решения с конечным значением действия, определенного в пространстве Минковского, и с бесконечными в эвклидовом пространстве.
η
a
αβ
=η
a
αβ
, α,β=1,2,3,
η
a
αβ