=-η
a
αβ
α или β=4.
(44.12)
Такие решения называют антинстантонами.
Вычислим теперь действие, соответствующее инстантонному решению. Используя соотношение ∑ηaμνηaμν и формулы, приведенные в приложении Б, получаем результат
𝓐
=
1
4
∫
𝑑
4
x
∑
G
a
μν
G
a
μν
=
48λ²
g²
∫
𝑑
4
x
1
(|x|²+λ²)4
=
8π²
g²
.
(44.13)
В § 45 показано, что туннелирование из состояния |n±⟩ в состояние |n±+ν⟩, где ν - целое число, осуществляется через инстантонные решения. В этом смысле они доказывают существование нетривиальной структуры вакуума КХД которое обсуждалось в § 38. Может показаться странной необходимость подробного обсуждения этой проблемы, поскольку точные решения уже найдены. Ответ на этот вопрос состоит в требовании конечности действия, при котором такие решения искались. Как обсуждалось в § 40, наблюдаемая амплитуда туннельного перехода между двумя состояниями |a⟩ и |b⟩ определяется формулой
⟨a|b⟩
phys
=⟨a|e
-𝓐
|b⟩/⟨b|e
-𝓐
|b⟩
(44.14)
так что даже полевые конфигурации, приводящие к бесконечному значению действия (при условии что бесконечности в числителе и в знаменателе (44.14) взаимно сокращаются), могут давать конечное значение амплитуды туннельного перехода. Можно накладывать требование конечности действия, но оно не является строго обязательным. В действительности, как будет показано в § 45, инстантоны приводят к целочисленным значениям параметра ν, тогда как, согласно работе [82], обсуждавшейся в § 38, при некоторых значениях масс кварков параметр ν оказывается нецелочисленным54). Важность инстантонных решений состоит в том, что они обеспечивают явные эффекты туннелирования и дают возможность оценить их. Но, по-видимому, инстантоны не исчерпывают всех возможных непертурбативных решений в квантовой хромодинамике. Помня об этих оговорках, продолжим изучение инстантонных решений и требования конечности действия.
54)"Полуинстантоны" с конечным эвклидовым действием и полуцелым топологическим зарядом, по-видимому, недавно теоретически получены в работе [127].
§ 45. Связь инстантонных решений с вакуумом КХД и топологическим квантовым числом
Рассмотрим величину (см. выражение (38.3))
Q
K
=
g²
32π²
∫
𝑑
4
x
∑
G
̃
a
μν
G
a
μν
.
(45.1)
Как обсуждалось выше, глюонные поля, стремящиеся на бесконечности к нулю, имеют вид
ℬ
μ
≃
x→∞
-1
ig
T
-1
B
(x)∂
μ
T
B
(x),
(45.2)
где TB - произвольная матрица из группы SU(3). Рассмотрим переменную x, лежащую на поверхности четырехмерной сферы ∂S4. Калибровочное поле ставит в соответствие каждой пространственно-временной точке x величину TB(x) из калибровочной группы. Таким образом, мы имеем отображение поверхности ∂S4 в группу SU(3). Можно сказать, что две полевые конфигурации гомотопны, и выполняется соотношение ℬ≈ℬ', если они могут быть переведены одна в другую непрерывным преобразованием. Очевидно, что это соотношение является соотношением эквивалентности; таким образом, все калибровочные поля можно разбить на гомотопические классы. Число гомотопических классов бесконечно, но счетно55), так что поля можно нумеровать целым числом n в соответствии с номером гомотопического класса, к которому они принадлежат. Наша очередная задача состоит в том, чтобы показать, что число n совпадает с величиной QK определяемой выражением (45.1). Величина QK называется квантовым числом Понтрягина, или топологическим (спиральным) квантовым числом. Название в скобках связано с кратностью отображения четырехмерной сферы на группу.
55) Эго справедливо для любой простой калибровочной группы, содержащей в себе подгруппу SU(2).
Чтобы убедиться в этом, отметим прежде всего, что, как можно проверить прямыми вычислениями, выражение (45.1) инвариантно относительно непрерывных калибровочных преобразований. Далее заметим, что подынтегральное выражение в (45.1) в действительности представляет собой 4-дивергенцию. В самом деле, как показано в § 38,
g²
32π²
∑
G
a
μν
G
̃
a
μν
=
∑
∂
μ
K
μ
,
(45.3)
где K — "киральный ток":
K
μ
=
g²
16π²
∑
ε
μνρσ
⎧
⎨
⎩
(∂
ρ
B
a
σ
)B
a
ν
+
1
3
gƒ
abc
B
a
ρ
B
b
σ
B
c
ν
⎫
⎬
⎭
.
(45.4)
Используя теорему Гаусса, находим
Q
K
=
g²
32π²
∫
𝑑
4
x
∑
G
a
μν
G
̃
a
μν
=
∫
∂S4
∑
𝑑σ
μ
K
μ
,
где 𝑑σμ - элемент поверхности четырехмерной сферы ∂S4. Используя формулу (45.4), получаем выражение
Q
K
=
g³
48π²
∑
ε
μνρσ
ƒ
abc
∫
∂S4
𝑑σ
4
B
a
ρ
B
b