σ
B
c
ν
.
Вычисления упрощаются, если принять, что Ba=0 для всех значений a, кроме a=1,2,3. Это оказывается возможным благодаря тому, что гомотопические соотношения зависят только от подгруппы SU(2). В этом случае можно принять
ℬ
μ
=
1
2
∑
σ
k
B
k
μ
,
и представление (45.2) остается справедливым, если входящая в него матрица T принадлежит группе SU(2). Тогда получаем следующее выражение для величины QK:
Q
K
=
1
12π²
∑
ε
μνρσ
∫
∂S4
𝑑σ
μ
Tr
⎧
⎨
⎩
(T
-1
∂
ρ
T)
(T
-1
∂
σ
T)
(T
-1
∂
ν
T)
⎫
⎬
⎭
.
(45.5)
Предположим, что мы параметризовали элементы группы SU(2) тремя углами Эйлера ξi ; тогда инвариантную по группе меру можно записать в виде
𝑑μ=Tr
⎧
⎨
⎩
T
-1
∂T
∂ξ1
T
-1
∂T
∂ξ2
T
-1
∂T
∂ξ3
⎫
⎬
⎭
𝑑ξ
1
𝑑ξ
2
𝑑ξ
3
,
∫
SU(2)
𝑑μ=12π².
Мы видим, что выражение (45.5) в точности определяет кратность, с которой поверхность четырехмерной сферы обернута вокруг группы SU(2). Таким образом, как это очевидно из формулы (44.13) и свойств самодуальных (анти-дуальных) полевых конфигураций, инстантонное (антиинстантонное) решение имеет топологическое квантовое число QK=±1. Нетрудно построить решение, отвечающее любому значению топологического заряда ν. Предположим, что параметр ν положителен. Рассмотрим разреженный газ ν инстантонов, описываемый полем
B
a(ν)
μ
(x)=
ν
∑
k=1
B
a
μ
(x-y
k
).
(45.6а)
Пусть поле B имеет величину (44.10), и пусть выполняются условия |γj-γk|→∞. При вычислении тензора напряженностей Gν или его квадрата GνGν перекрытие между двумя различными членами в формуле (45.6) при |γj-γk|→∞, очевидно, стремится к нулю; следовательно, в этом пределе справедливо равенство
g²
32π²
∫
𝑑
4
xG
(ν)
G
̃
(ν)
=ν.
(45.6б)
Таким образом, мы успешно справились с задачей поиска решений из каждого гомотопического класса. Более интересным оказывается тот факт, что многоинстантонные полевые конфигурации дуальны, а следовательно, соответствующий тензор энергии-импульса обращается в нуль: Θν=0. Это означает, что в квантовой хромодинамике (по крайней мере в ее евклидовой версии) нет единственного вакуума, а есть бесконечное число вакуумных полевых конфигураций |ν⟩, ν=…,-1,0,1,2,…, которые топологически эквивалентны друг другу. Эта ситуация похожа на случай, представленный на рис. 30, б.
Рис. 31. Области интегрирования в выражениях для топологического заряда инстантонов.
Чтобы исследовать это явление более детально, введем в рассмотрение другую гиперповерхность, а именно возьмем цилиндр с осью вдоль оси времени, как показано на рис. 31, а. Выберем кулоноподобную калибровку, так что выполняется асимптотическое условие
B
4
=
x→∞
0.
Тогда остаются интегралы только вдоль оснований цилиндров:
ν=
⎧
⎨
⎩
∫
t''
-
∫
t'
⎫
⎬
⎭
𝑑x
1
𝑑x
2
𝑑x
3
K
(ν)
4
.
Поскольку поле на бесконечности обращается в нуль, пространственно бесконечно удаленные точки, лежащие на основаниях цилиндра, можно отождествить, так что возникают интегралы по большим трехмерным сферам, одна из которых расположена при t=-∞, а другая при t=+∞. Калибровку выберем таким образом, чтобы выполнялось условие
∫
t'→-∞
𝑑x
1
𝑑x
2
𝑑x
2
K
(ν)
4
=n(-∞)=целое число.
Доказательство существования калибровки, непрерывным образом связанной с тождественным преобразованием и удовлетворяющей этому условию, можно найти в лекциях [227]. Принимая во внимание формулу (45.66), получаем равенство
∫
t''
𝑑x
1
𝑑x
2
𝑑x
3
K
(ν)
4
=n(t''), n(+∞)-n(-∞)=ν.
(45.7)
Многоинстаитонные полевые конфигурации B(ν) связывают вакуумные состояния на -∞ и +∞, топологические квантовые числа которых различаются на ν единиц. Поэтому в квантовом случае в соответствии с обсуждением в § 40 можно ожидать, что эти два вакуумных состояния могут быть связаны туннельным переходом, амплитуда которого в ведущем порядке описывается формулой
⟨n(+∞)|n(-∞)⟩=(constatnt) exp(-
𝓐
(ν)
).
Как обсуждалось выше, минимум действия достигается на само дуальных (антидуальных) решениях, т.е. для инстантонов или антиинстантонов (если |n(+∞)-n(-∞)|=1). Таким образом, в ведущем порядке амплитуда перехода имеет вид
⟨n(+∞)|n(-∞)⟩≈(constatnt) exp
⎧
⎨
⎩
-8π²|ν|
g²
⎫
⎬
⎭
.
(45.8)
Поправки высших порядков можно вычислить [252], разлагая в ряд поля не вблизи классических траекторий Bcl=0, а вблизи траекторий Bcl=B(ν)cl=B(ν). Они оказываются важными, так как дают константу в формуле (45.8). Действительно,